数论之大数分解与素数判定

写下来感觉也是没有用的哇TAT

还是找模板理解吧QAQ

1.Miller-rabin算法： 用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。

它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么$a^(p-1)$%p≡1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该符合$a^(p-1)$%p≡1，因为质数φ(p)=p-1。
那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a

Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。

但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。

【二次优化依据的定理：如果p是一个素数，那么对于x(0   逆否命题：如果对于x(0
根据这个定理，我们要计算$a^(p-1)$%p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=$2^t$ * k。我们从$a^k$开始，不断将其平方直到得到$a^(p-1)$（因为p-1=$2^t$ * k ，所以$a^k$平方t次可=p-1），一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。

mr写的不错XD

2.pollard-rho算法：一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。

求n的质因子的基本过程是：

1.先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列。
2.对于每个生成的随机数判断与n是否互质。
3.如果互质则尝试下一个随机数。
4.如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。 至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。

Pollard rho算法的原理：

1.通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n。
2.计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1(就是a-b与n不是互质)，或者a，b出现循环为止。
3.然后再判断p=n？
4.如果p=n，那么返回n是一个质数。
5.否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。

算法步骤：选取一个小的随机数x1，迭代生成x[i] = x[i-1]^2+c，一般取c=1，若序列出现循环则退出，计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n)，若p=1则返回上一步继续迭代，否则跳出迭代过程。若p=n，则n为素数，否则p为n的一个约数，并递归分解p和n/p。

ps:mr有点理解？pr不理解？→_→扎铁不老心