数学大杂烩2

由于之前那篇坏掉了，没法编辑了
所以重新开一篇，记录一点小知识

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贝尔数

• 定义

  把$N$带标号的球分成$M$个集合，是第二类斯特林数
  对$S(N,?)$这一行求和，就是贝尔数$B_n$，表示$N$个带标号的球的集合划分数

• 一些东西

  递推式：$B_{n+1}=\sum \left(B_k\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\right)$
  相当于加入一个新的集合，这个集合里固定包含元素"n+1"，剩下集合标号用组合数去选

  一个性质（Touchard同余）：$B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，p是个质数
  在p比较小的时候，可以线性递推

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泰勒展开

• 构造多项式仿造目标函数

  已知目标函数$f(x)$，有$f(x)\approx g(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdots$

• 想法

  对于一个函数$f$，要去构造一个函数$g$仿造它，可以这么做
  确定一个$x_0$，使得$f(x_0)=g(x_0),f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0),f^{\prime \prime }(x_0)=g^{\prime \prime }(x_0)\cdot \cdot \cdot$，就是让它们的每阶倒数都相同，项越多，仿造越精确。

• 例子

  比如，要仿造$f(x)$在$x_0$附近的样子

  先从一个点开始仿造，得到$g(x)=f(x_0)$，这个仿造的函数只在$x_0$位置是和$f(x)$相同的，不够精确。

  为了提高精确度，使$g(x)$在$x_0$处的斜率（一阶导）和$f(x)$相同，令$k=f^{\prime }(x_0)$，得到$g(x)=f(x_0)+k(x-x_0)$，可以改写成$g(x)=f^{(0)}(x_0)(x-x_0{)}^0+f^{(1)}(x_0)(x-x_0{)}^1$

  我们还可以继续逼近，让$g(x)$在$x_0$附近的斜率变化率（二阶导）也和$f(x)$相同，继续写成上面那个样子，得到$g(x)=f^{(0)}(x_0)(x-x_0{)}^0+f^{(1)}(x_0)(x-x_0{)}^1+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0{)}^2}{2!}$

  如此类推，当求导的层数无穷多时， $f$ 和 $g$ 在 $x_0$ 附近的每一阶导全都相等，也就是变化趋势一致，那么 $f$ 和 $g$ 在$x0$ 附近的样子也应该是相同的。这个“附近”的范围，随着仿造精确度的提高而变大（允许一定误差时）