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图论（9）图的连通度

目录

一、割边、割点和块

割边及其性质

割点及其性质

块

二、连通度

顶点割定义

点连通度定义

k连通定义

边割定义

边连通度

连通度性质

减去一个点/边性质

点连通度与边连通度关系

边数点数确定的图的点连通度上界

最小度大于点数的一半

由顶点和最小度来判断k连通

敏格儿定理

独立路概念

用点或边来分离两个顶点

敏格儿定理具体形式

应用（不作考试要求）

习题

一、割边、割点和块

割边及其性质

割边定义：

图论（9）图的连通度_第1张图片

w（G-e）> w(G)是说删去边e后连通分支数增加，w代表一个图的连通分支数，注意删边不删点，所以对于树来说，每一条边都是割边

图论（9）图的连通度_第2张图片

图论（9）图的连通度_第3张图片

定理1给出了割边的充要条件，即不在圈中

割点及其性质

割点定义

G[E]为边导出子图

图论（9）图的连通度_第4张图片

这里之所以（2）（3）都指出是无环图，因为对于有环的图，自环所在的那个点就是割点，且删去之后分支数不变，且连通图仍连通

图论（9）图的连通度_第5张图片

由定理2可知，对于树来说，度大于1的顶点就是割点

定理3表明，无环连通图中所有顶点两两之间都有一条经过割点的路。

图论（9）图的连通度_第6张图片

树叶不能为割点，而无环非平凡树至少有两片树叶，所以至少两个非割点，而无环非平凡图一定对应一个非平凡生成树，树叶连作为树的割点都做不到，就更不可能作为图的割点了。

图论（9）图的连通度_第7张图片

上图中v1也是割点，因为v1可以把边分成两个子集，通过这两个边子集得到的边导出子图只有v1一个公共点，所以v1也是割点，所以对于图中的割点来说，对于连通图的割点，删去该点不一定就非连通，也有可能仍然是连通的。

块

块，图的块，两个定义

图论（9）图的连通度_第8张图片

如上图，B1是G的块，B就不是，因为B1真包含B

图论（9）图的连通度_第9张图片

注意第三点，至少两个点的块无环，这里的环指的是自环，而不是圈

至少三个点的块无割边，当然了，割边导出子图是块，如果包含割边的话就不满足图的块的极大性了。

图论（9）图的连通度_第10张图片

图论（9）图的连通度_第11张图片

图论（9）图的连通度_第12张图片

块割点树是把块和割点都抽象成顶点，如果割点是某个块上的点，则把割点对应在块割点树中的顶点与块对应的顶点连接

二、连通度

接下来讨论的都是无环图

顶点割定义

图论（9）图的连通度_第13张图片

对于本来就不连通的图来说，任意一个顶点集合就是一个点割，所以其最小点割怕不是个空集。

图论（9）图的连通度_第14张图片

什么叫以完全图为生成子图呢？就是这个图，是在完全图的基础上加一些重边或环组成的图。所以当然可以以完全图为生成子图，当然，本章我们是不考虑有环的图的。（但是考虑重边哦）

点连通度定义

图论（9）图的连通度_第15张图片

k连通定义

图论（9）图的连通度_第16张图片

一个图是k连通的，意思是它的连通度大于等于k，比如一个图的连通度是5，则它是1连通，2连通，3连通，4连通，5连通，但它不是6连通的。

一个图是k连通的，也意味着任意删去k-1个点，该图仍然是连通的。

边割定义

图论（9）图的连通度_第17张图片

任意一个图一定有边割，因为我们只需要找到图中的一个点，然后把它关联的所有边组成一个点割即可。

注意：点连通度和边连通度都只能通过观察得到。

边连通度

图论（9）图的连通度_第18张图片

连通度性质

减去一个点/边性质

点连通度与边连通度关系

最小点割小于等于最小边割小于等于最小度

图论（9）图的连通度_第19张图片

边数点数确定的图的点连通度上界

最小度大于点数的一半

由顶点和最小度来判断k连通

图论（9）图的连通度_第20张图片

因为边连通度是小于等于最小度的，当最小度大于点数的一半时，边连通度可以取到上界，即最小度

敏格儿定理

该定理揭示了图的连通度与顶点间不相交路的数目之间的关系

独立路概念

图论（9）图的连通度_第21张图片

两条路只有起点和终点重合，内部不重合，则称之为独立路。

用点或边来分离两个顶点

图论（9）图的连通度_第22张图片

点分离是说删去这一组点后x，y之间就不存在路了，边分离是指删去这一组边后x,y之间就没有路了。

敏格儿定理具体形式

图论（9）图的连通度_第23张图片

注意点形式的敏格儿定理要求x和y是不相邻点，因为如果两个点相邻的话，是没办法通过点来分割的

图论（9）图的连通度_第24张图片

k点连通，两点间存在k条点不相交路，

k边连通，两点间存在k条边不相交路。

图论（9）图的连通度_第25张图片

先证明（1）和（2）等价

图论（9）图的连通度_第26张图片

再证明（2）与（3）等价

图论（9）图的连通度_第27张图片

图论（9）图的连通度_第28张图片

应用（不作考试要求）

图论（9）图的连通度_第29张图片

图论（9）图的连通度_第30张图片

图论（9）图的连通度_第31张图片

图论（9）图的连通度_第32张图片

对于要求k连通的图来说，如果k为偶数，则每个点依次与其后边的k/2个点连接，就得到了边数最少的n顶点k连通图，即哈拉里图

图论（9）图的连通度_第33张图片

如果连通度k为奇数，顶点数为偶数，则先把k-1,得到一个哈拉里图，再把每个顶点与其对角线相连即可。

图论（9）图的连通度_第34张图片

度数与顶点数都是奇数，如图，先把k-1的哈拉里图做出来，然后还是连对角线，不过因为顶点数是奇数，顶点没办法两两凑对，如图顶点数为9，9/2=4.5，则把4和5两个点都跟0相连，其它点再两两配对。

习题

 

 

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