AtCoder Grand Contest 019 F - Yes or No 数学

题意

有n+m个问题，n个答案是正确，m个答案是错误。总共有n+m轮，每轮会随机从没有问的问题中选一个出来，在你回答完后会告诉你是答对还是答错。问最优策略下的期望答对题的数量。
n,m<=500000

分析

这题如果要用分数相加的方法来做的话会超级麻烦，考虑数形结合的话就会简单很多。
首先不难发现最优策略一定是选剩余题数较多的那个答案来回答。
把原问题抽象成一个数轴，每次会向下走或向左走。
有个性质就是当你从(i,i)走到(1,1)点且不经过主对角线上的其他点（不考虑出发点的决策）时，必然每次都会猜同一个答案，然后恰好猜中i次。
不妨设n>m。
现在要从(n,m)点开始走。我们可以把路径拆成若干段，每一段都是从对角线上某个点走到另一个点且中间不经过对角线上的其他点。
不难发现除了在对角线上的收益以外我们会恰好答对n次。
然后对角线上每个点每次的期望答对题数为1/2。
那么只要算出到达对角线上每个点的路径条数就好了。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1000005;
const int MOD=998244353;

int n,m,ny[N],jc[N];

int C(int n,int m)
{
    return (LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n<m) swap(n,m);
    jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n+m;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    for (int i=2;i<=n+m;i++) ny[i]=(LL)ny[i-1]*ny[i]%MOD;
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=m;i++) ans+=(LL)C(n+m-i*2,n-i)*C(i*2,i)%MOD,ans-=ans>=MOD?MOD:0;
    ans=(LL)ans*ny[n+m]%MOD*jc[n]%MOD*jc[m]%MOD*ny[2]%MOD;
    printf("%d",(ans+n)%MOD);
    return 0;
}