牛客练习赛25 A-因数个数和

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题目：

传送门

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分析：

首先是一个比较容易理解的数论知识：
$$在n以内所有数的因数和=\sum _{i=1}^{n}n/i$$
那么$x$是$n$的因数，那么$n/x$肯定也是$n$的因数
我们可以将上面的公式变为（$w$为$n$的算术平方根）
$$(\sum _{i=1}^{w}n/i)\ast 2$$
但当我们自信满满的去做时，会发现答案太大了，这是为什么呢
——很显然，当$n=16$，$i=4$时，我们就会多算一次$4$
而其他的平方数也是如此
故我们应减去$w$，但这样还是$WA$
这又是为什么呢
我们不妨来举个例子：
对于数字1，有1个因数（1），我们简单乘以2，多计算了1次1

对于数字2，有2因数（1,2），我们简单乘以2，多计算了1次1，1次2

对于数字3，有2因数（1,3），我们简单乘以2，多计算了1次1，1次3

对于数字4，有2因数（1,2,4），我们简单乘以2，多计算了1次1，1次2，1次4

对于数字5，有2因数（1,5），我们简单乘以2，正好

对于数字6，有2因数（1,2,3,6），我们简单乘以2，多计算了1次2，1次3

对于数字7，有2因数（1,7），我们简单乘以2，正好

对于数字8，有2因数（1,2,4,8），我们简单乘以2，多计算了1次2，1次4

对于数字9，有2因数（1,3,9），我们简单乘以2，多计算了1次3

对于数字10，有2因数（1,2,5,10），我们简单乘以2，正好

对于数字11，有2因数（1,11），我们简单乘以2，正好

对于数字12，有2因数（1,2,3,4,6,12），我们简单乘以2，1次3，1次4

对于数字13，有2因数（1,13），我们简单乘以2，正好

对于数字14，有2因数（1,2,7,14），我们简单乘以2，正好

对于数字15，有2因数（1,3,5,15），我们简单乘以2，正好

对于数字16，有2因数（1,2,4,8,16），我们简单乘以2，多计算了1次4
加起来正好是$1w$这$w$个因数，每一个都多计算了$w$次。所以我们一共多计算了$w^2$次
所以将我们以上所有内容总结起来，得出$AC$公式：
$$(\sum _{i=1}^{w}n/i)\ast 2-w^2$$

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代码：

#include
#include
#include
#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define h happy
#define XJQ 牛逼
#define HSZGB 欠老子400块 
using namespace std;
inline LL read() {
    LL d=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){d=d*10+s-'0';s=getchar();}
    return d*f;
}
int main()
{
	int q=read();
	LL ans=0;
	while(q--)
	{
		int x=read();
		int s=sqrt(x);
		ans=0;
		for(int i=1;i<=s;i++) ans+=x/i;
		printf("%lld\n",ans*2-s*s);
	}
	return 0;
}