图论_树的概念

树与树的性质

树

定义

1. 连通且无回路的无向图称为树
2. 树中度数为1的称为树叶，度数大于1的称为分枝点或内点
3. 如果一个无向图的每一个连通分支都是树，称为森林

等价定义

1. 无回路的连通图
2. 无回路且c=v-1，其中c是边数，v是点数
3. 连通且c=v-1
4. 无回路且增加一条新边，得到一个且仅一个回路
5. 连通且删去任何一个边后不连通
6. 每一对节点之间有一条且仅有一条路

以上证明略

这边复习一下连通图的定义：可以到达每一个点的图

树的定理

1. T是n阶非平凡的无向树，则T至少有两片树叶

   证明:

   1. 假设叶片有x片
   2. 由等价定义2可知c=v-1
   3. 握手定理可知$\sum d(v_i)=2c=2(v-1)$
   4. 因为树叶是度数为1，内点度数大于1，所以$\sum d(v_i)\ge x+2(v-x)$
   5. 解得：$x\ge 2$

生成树

定义

1. 连通图G的生成子图T是一个树，就称T为生成子树
2. G中在生成子树上的边称为树枝，不在生成子树上的边称为弦
3. 生成树T的余树：导出子图G[E[G]-E[T]],记作$\overline{Y}$

顺便复习一下生成子图和导出子图：

生成子图：若图G的一个子图包含G的所有顶点，称该子图为G的生成子图

导出子图：

​ G的v1导出子图G[v1]

• 点集为原图G的点集v的子集v1，且不为空

• 边集为G中两个端点都在v1中所组成的边

• 特殊的，G[v]=G

  G的E1导出子图G[E1]

• 边集为原图G的边集E的子集E1，且不为空

• 点集为与E1中边关联的点

• 特殊的，若G无孤立点，则G[E]=G

定理

1. 连通图至少有一颗生成树
2. 一条回路和任何一颗生成树的补至少有一条公共边
3. 一个边割集和任何生成树至少有一条公共边
   1. 复习一下边（点）割集，去掉边（点）会使得图的连通分支数目减少的边（点）集
   2. 去掉边割集后，连通分支数目增加，其实就是连通图不连通了，所以这条边一定也存在于生成子树中
4. **基本回路系统 **：设T为G的生成树，e为T的任意一条弦，则T+e中含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈. 不同的弦对应的圈也不同. 所有弦对应的回路的结合就叫做基本回路系统
5. 基本割集：设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G
   中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对
   应的割集也不同.所有树枝对应的割集的集合就是基本割集系统

最小生成树

1. 问题背景：连通图中G的每一个节点表示一个城市，边的权重代表程璐之间道路的长度，如果修路把这些城市连接起来，怎么修路，总路程最短？

2. 定义：在带权的图GG的所有生成树中，树权最小的那课生成树，称作最小生成树。

最小生成树的Kruskal算法

1. 选择最小权边c1，边数i赋值为1
2. 当i=n-1的时候结束循环，否则转3（树的等价定理2）
3. 对已经选定的c1，c2，c3…ci，选取不同于已选边的最小边$c_{i+1}，使选出来的图无回路$
4. $i\leftarrow i+1$,转2

这样子就能得到一个最小生成树。

根树

定义

1. 有向树：如果一个有向图，在忽略方向后，是一颗树，则称为有向树
2. 根树：根树是一颗有向树，如果只有一个节点的入度为0，其他的节点入度都为0，则称这棵树为根树
3. 入度为0的结点称为根，出度为0的结点称为叶，出度不为0的结点称为分类点或者内点（包括根）
4. 层次：从根结点到该结点的单向通路的长度。
5. 在根树中，如果每一个结点的出度小于m，称为m叉树；当m=2的时候，称为二叉树。
6. 如果每一个结点出度恰好都等于m或0，则这课称为完全m叉树。若所有的树叶层次相同，则称为正则m叉树
7. 根树中，一个结点的通路长度，就是从根到该结点额通路中的边数。分枝点的通路长度称为内部通路长度，树叶的通路长度称为外部通路长度

通常我们只研究二叉树，并将m叉树转为二叉树

性质

1. 在完全m叉树中，其树叶数为t，分枝点数为i,则有（m-1）i = t-1
2. 若完全二叉树有n个分支点，且内部通路长度总和为I，外部长度总和为E，则有E=I+2n。（其实简单画一个图，就能理解：E可以分为两部分，一部分就是分枝点的通路长度和I，而另外一部分就是从分枝点到叶的长度，因为是完全二叉树，所以剩下一部分就是2n了，所以也可以推广到完全m叉树中：E=I+mn）

最优树

定义

1. 带权二叉树，设有一颗二叉树，共有t片树叶，树叶分别带权$w_1,w_2,w_3...w_i$,该二叉树称为带权二叉树。且带权为$w_i$的树叶，其通路长度为$L(w_i)$,把$W(T)={\sum }_{i=1}^i{w}_{i}L(w_i)$称为带权二叉树的权
2. 所有带权$w_1,w_2,w_3...w_i$的二叉树中，W(T)最小的称作最优树，（即只要是树叶带有这些权值的二叉树全部拿来比较，权值最小的就称为二叉树）

最优树的定理

1. 设T为带权$w_1\le w_2\le ...\le w_i$的最优树，则一定有
   1. 带权为$w_1,w_2$(权值最小的两个树叶)的树叶是兄弟节点
   2. 以带权为$w_1,w_2$的树叶的通路长度最长
   3. 若将T中带权为$w_1,w_2$的树叶的父结点改为带权$w_1+w_2$的树叶，得到的新树是带权为$w_1+w_2,w_3...w_i$最优树
2. 最优树一定是完全二叉树，因为如果有一个分枝点只有一片树叶，只要将树叶代替该分枝点，得到的新树一定比原本的树权值更小

构造最优树(Huffman算法)

1. 找到最小的两个w值，设为w1，w2，然后对t-1个权值w1+w2，w3…wt求最优树（迭代），并且将得到的最优树的结点$V_{w_1+w_2}$作为$V_{w_1}和V_{w_2}$的父节点，依次类推，直到迭代到根节点。