求最小环

floyd求最小环

2011-08-14 9:42

1 定义: 通常来说最小环是针对有向图而言 从一个点出发,经过一条简单路径回到起点成为环.图的最小环就是所有环中长度最小的. 2.怎样求最小环呢? 1传统的解决方法(dijkstra):         任意一个环的权值，我们都可以看成两个有边相连的结点i、j的直接距离加上i、j间不包含边(边i->j)的最短路径。求最短路径我们第一个想到的就是Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一个点到所有点的最短距离。用Dijkstra所求的i、j的最短距离一定是i、j的直接距离(如果i，j连通)，所以我们需要先将i、j的边从图中删除(若i，j不连通，则不用删除)，再用Dijkstra求新图中i、j的最短距离即可。所以我们每次在图中选取一条边，把它从图中删掉．然后对删掉的那条边所对应的2点进行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。 2.floyd求最小环:         抛开Dijkstra算法，进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，⋯ ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0，i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。         在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，⋯ ，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?          现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都(x1->x2->......xm)->u属于当前环，所以x1，x2，⋯ ，xm 3.模板 #include using namespace std; const int MAXN=105; const int INF=10000000; int dist[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN]; int fa[MAXN][MAXN],path[MAXN]; int n,m,num,minc; void Floyd() {      int i,j,k,p,tmp;      minc=INF;      for(k=1;k<=n;k++)      {          for(i=1;i           for(j=i+1;j           {               tmp=dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j];               if(tmp               {                   minc=tmp;                   num=0;                   p=j;                   while(p!=i) //逆向寻找前驱结点直到找到最前面的i,i->…->j                   {                         path[num++]=p;                         p=fa[i][p];//fa[i][j]保存的不是k,而是fa[k][j].                   }                   path[num++]=i;                   path[num++]=k;               }           }          for(i=1;i<=n;i++)           for(j=1;j<=n;j++)           {              tmp=dist[i][k]+dist[k][j];              if(dist[i][j]>tmp)              {                  dist[i][j]=tmp;                  fa[i][j]=fa[k][j];              }           }      } } int main() {     int i,j,u,v,w;     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)     {           for(i=1;i<=n;i++)            for(j=1;j<=n;j++)            {                g[i][j]=INF;                dist[i][j]=INF;                fa[i][j]=i;            }           while(m--)           {                scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);                w=min(g[u][v],w);          //处理重边                g[u][v]=g[v][u]=dist[u][v]=dist[v][u]=w;           }           Floyd();           if(minc==INF)                printf("No solution.\n");           else           {                printf("%d",path[0]);                for(i=1;i                    printf(" %d",path[i]);                printf("\n");           }     }     system("pause");     return 0; }

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