动态规划之——博弈问题

套路又有一些不太一样的解法（抓住必胜态和必败态的转化）

先看第一道题：

典型的博弈问题，算法也比较通俗易懂，采用动态规划的思想，即如果存在一种方式让对手变为必败态，那么你就处于必胜态；否则，你就处于必败态，对于这道题，稍加分析可以得出回合数不太多，于是我们可以采用递归的写法：

int judge(int larger,int smaller){
    if(larger < smaller){
        larger ^= smaller ^= larger ^= smaller;//保证第一个参数为较大数
    }
    if(smaller == 0){
        return 0;
    }
    else{
        int i = larger / smaller;
        for(;i > 0;i--){//若存在一种方案可以使得对手变为必败态，那么就处于必胜态
            if(judge(larger - smaller * i,smaller) == 0)
                return 1;
        }
        return 0;//否则就处于必败态
    }
}

第二道题

对于这道题如果还是用上面那道题的写法，那么必定是会TLE的，可以想象，复杂度应该是指数级别的，于是，就要采用动态规划的写法了，思路还是之前说过的，不变：

for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 0;j < k;j++){
                if(i - methods[j] >= 0 && !dp[i - methods[j]]){//对于i，如果在给出的去石头方案中存在一种方案将i转化为后手必胜状态（包括0），则i为先手必胜状态
                    dp[i] = 1;
                    break;
                }
            }
        }

第三道题

这道题又和之前的两道不太一样，这道题的每回合的操作方案数是不固定的，如果还想像第二题那样操作，那么对于每个i，就又要再算一次可能的操作方案并且存下来，有些麻烦，在这里，给出一种想到了就惊呼，没想到就头破的方法：数学归纳法：假设3k为先手必败态，当k = 1时显然成立，现在讨论3(k + 1)即3k + 3的情况：先手的人可以取1，那么就剩3k + 2，那么后手的人就可以取2，使得先手的人处于先手必败态；先手的人可以取2，那么就剩3k + 1，那么后手的人就可以取1，使得先手的人处于先手必败态；先手的人再取4、8等情况，与之前的分类一致，由此可以得出，3k为必败态！，所以这道题的代码十分简短：

int judge(int n){
    if(n % 3 == 0)
        return 0;
    else
        return 1;
}

总结

以上就是我做到的OJ平台上的三道博弈题，有共性又有个性，十分有趣，难度适中，建议一做。