【图论】最大密度子图&权闭合图

最大权闭合图:

描述:

给定一个点带权的有向图,求这个图的最大权闭合图?
* 闭合图含义:图中任意的出边所指的点都在图中的点集内。

解法:

建图:
一个超级源点s,超级汇点t。
s连接所有点权为正的点,容量是点权。
所有点权为负的点连接汇点t,容量的点权乘以-1。
原图中 a->b,那么连接 a b,容量无穷大。
求出最大流,那么所有正点权的和减去 最大流 就是最大权闭合图的最大权,就是公司的最大利益。
在残量网络中从原点s出发,一遍dfs,走还有容量的点,经过的点数就是要选定的节点的编号。

例题:POJ 2987

最大密度子图

描述:

给定一个无向图,要求它的一个子图,使得子图中边数 |E| 与点数 |V| 的比值最大,即最大化:

|E||V|

解法:

这里仅给出一种解法:
解法一:
假设答案为k ,则要求解的问题是:选出一个合适的点集 V 和边集 E ,令 (|E|k|V|) 取得最大值。所谓“合适”是指满足如下限制:若选择某条边,则必选择其两端点。
建图:以原图的边作为左侧顶点,权值为1;原图的点作为右侧顶点,权值为 k (相当于 支出 k )。
若原图中存在边 (u,v) ,则新图中添加两条边 ([uv]>u) , ([uv]>v) ,转换为最大权闭合子图。

例题:UVALive 3709

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