几种组合数的常见处理方式

前言：
组合数，大家初中就学过，从n个不同元素里选出m个元素的所有组合的个数，叫做n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m) 表示。在数论里，组合数算是非常基础的，也经常使用的一种算法，这篇博客主要是讨论在算法题目中，经常使用的处理组合数的方式。（如有错误，欢迎大家留言指正）

方式一：递推公式
我们初中就学过，组合数有许多性质，也肯定知道组合数有一个递推公式。
简单解释一下，我们从 n 个物体里选出 m 个物体，那么对于 n 个物体中的其中一个物体，无疑就只有两种情况，选择了这个物体 or 没有选择这个物体，那么选择了这个物体就有 C(n-1,m-1)种方式(已经确定一个，再选 m-1 个)，没有选择这个物体就有 C(n-1,m)种方式(没有确定的，要选 m 个)，因此我们可以得到 C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
在一般题目中，我们可以通过这个递推公式来预处理组合数，这样在之后使用组合数时就可以实现O(1)调用了。
代码段

    for(int i=0;i<=n;i++)//先处理m=0的情况
    C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
    C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;//递推

注意事项
因为递推公式要开二维，如果 n 很大，数组会爆，建议如果 n>=1e4 的话要谨慎使用，实测 int 数组 n>=3e4 会爆，long long 数组 n>=2e4 会爆，即使数组没爆，也有可能爆内存，所以 n>=1e4 要谨慎使用。

方式二：利用公式预处理
前面利用递推公式的预处理，因为是二维的，很容易爆内存，所以，我们要想其他办法，来预处理。我们初中就学过。

一般来说，我们只需要预处理出 1~n 的阶乘（通过递推），就可以通过上面的式子计算出 C(n,m) 了，但是在很多情况下，求组合数，往往伴随着取模操作，所以不能简单的通过上面的式子计算了。
因此这里就涉及了分数取模的问题，这样的话，在模数为素数时，我们可以根据费马小定理来求。
这里简要说明一下费马小定理（不涉及证明）。

费马小定理
若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。

我们可以根据费马小定理推出，a^(p-2) ≡ a^-1 (mod p)。因此我们可以将（mod为素数） n!^-1%mod 转化成 n!^mod-2%mod 通过费马小定理，之后再用快速幂，就可以转化成整数取模了。

代码段

快速幂代码

long long quickpow(long long x,long long k)
{
    long long res=1;   
    while(k)
    {        
 	if(k&1)//k为奇数
 	res=res*x%mod;        
 	k>>=1;//k/2
 	x=x*x%mod;    
     }   
     return res;
}

预处理为下方代码

    //A[]为阶乘，inv[]为阶乘倒数
    A[0]=1;//0!=1
    for(int i=1;i<=n;i++)//n!=(n-1)!*n
    A[i]=A[i-1]*i%mod;
    //费马小定理
    inv[n]=quickpow(A[n],mod-2);//quickpow快速幂
    for(int i=n-1;i>=0;i--)//1/n!*n=1/(n-1)!
    inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

组合数就可以由下方代码得到

long long getC(int n,int m)
{  	
    //A[]为阶乘，inv[]为阶乘倒数
    if(n==m||!m)
    return 1;
    else
    return A[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

注意事项
费马小定理只能运用在两数互质的情况下，所以一般题目只有模数为素数时我们才能使用上面的方法。当然，也要注意 n 的大小，1e8以上最好别使用，会爆内存。

方式三：Lucas定理
当 n>=1e15 并且最好 p<=1e5时，可以用Lucas定理来求解这些大组合数。
Lucas定理如下（冯志刚《初等数论》）

我们可以将上面的定理化为 C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p,这样我们就可以递归的求解了。
代码段
递归

long long C(long long n,long long m)//C(n,m)
{
    if(n<m)
    return 0;
    long long x=1,y=1;
    for(long long i=n;i>n-m;i--)//暴力求阶乘
    x=x*i%mod;
    for(long long i=m;i>0;i--)
    y=y*i%mod;
    return x*quickpow(y,mod-2)%mod;//quickpow快速幂
}
long long Lucas(long long n,long long m)//C(n,m)%mod
{
    if(m==0)
    return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
    
}

非递归

long long Lucas(long long n,long long m)//C(n,m)%p
{
    //quickpow快速幂，A[]为阶乘
    long long res=1;
    while(n&&m)
    {
        long long nn=n%mod,mm=m%mod;
        if(nn<mm)
        return 0;
        //1/n!%mod=n^(mod-2)%mod;
        res=res*A[nn]*quickpow(A[mm]*A[nn-mm]%mod,mod-2)%mod;
        n/=mod,k/=mod;
    }
    return res;
}

注意事项
Lucas定理只有当 n,m非常大，p比较小的时候才嫩使用，并且如果 p 不为素数还得通过质因数分解+中国剩余定理合并等方式求解（这里不展开了）。

总结
组合数处理方式比较多，每个方式都有自己适应的条件，我们使用的时候要具体问题具体分析，根据条件选择合适的方式。欢迎大家评论交流。