数学建模 模拟退火入门介绍

       模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 

     

              　　

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

    基本思想:
              　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
              　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
              　　(3) 产生新解S′
              　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
              　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
              　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
              终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
              　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

        

  模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
              　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
              　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
              　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则:  若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
              　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

              　　

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率100%收敛于全局最优解的全局优化算法，模拟退火算法具有并行性。

模拟退火伪代码：

Procedure TSPSA:
              　begin 
              　　init-of-T; { T为初始温度}
              　　S={1，……，n}; {S为初始值}
              　　termination=false;
              　　while termination=false
              　　　begin 
              　　　　for i=1 to L do
              　　　　　　begin
              　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
              　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
              　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
              　　　　　　　　S=S′;
              　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 
              　　　　　　　　termination=true;
              　　　　　　End;
              　　　　T_lower;
              　　　End;
              　End
              　　

模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。

              　　

模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
 (1) 温度T的初始值设置问题。
             温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
 (2) 退火速度问题。
              模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
 (3) 温度管理问题。
              温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：


              T(t+1)＝k×T(t)
              式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数。