旋转的描述【3】——欧拉角

1.定义

  欧拉角是用来描述刚体（直角坐标系）姿态的三个角度，通常是参考坐标系转向动坐标系的三次旋转的角度，因此欧拉角的定义与转动顺序有关，并不唯一。欧拉角与四元数和方向余弦矩阵相比，参数更少，物理含义更加直观、更容易理解，但也存在万向节锁问题。
  为什么是三次呢？可以证明，空间的任意转动都可以由三次基本转动合成，而基本转动是以坐标轴为旋转轴的转动。

2.基本转动矩阵

  在介绍欧拉角与方向余弦矩阵关系之前，先看看基本转动矩阵与欧拉角的关系。
根据罗德里格公式，可以得到方向余弦矩阵与等效旋转矢量的关系：
$$C_b^n={\mathbf{M}}_{RV}(\mathbf{\varphi })=\mathbf{I}+sin\varphi (\mathbf{u}\times )+(1-cos\varphi )(\mathbf{u}\times {)}^2$$
若分别取等效旋转矢量为${\mathbf{\varphi }}_1=\alpha {\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]}^T$，${\mathbf{\varphi }}_2=\beta {\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]}^T$，${\mathbf{\varphi }}_3=\gamma {\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]}^T$
则有，
$$C_b^n({\mathbf{\varphi }}_1)={\mathbf{M}}_{RV}({\mathbf{\varphi }}_1)=\mathbf{I}+sin\alpha \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]+(1-cos\alpha ){\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\alpha & -sin\alpha \\ 0& sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]$$
$$C_b^n({\mathbf{\varphi }}_2)={\mathbf{M}}_{RV}({\mathbf{\varphi }}_2)=\mathbf{I}+sin\alpha \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]+(1-cos\alpha ){\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{ccc}cos\beta & 0& sin\beta \\ 0& 1& 0\\ -sin\beta & 0& cos\beta \end{array}\right]$$
$$C_b^n({\mathbf{\varphi }}_3)={\mathbf{M}}_{RV}({\mathbf{\varphi }}_3)=\mathbf{I}+sin\alpha \left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+(1-cos\alpha ){\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma & -sin\gamma & 0\\ sin\gamma & cos\gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
上述三式称为以坐标轴为旋转轴的基本转动矩阵，或称Givens矩阵或初等旋转矩阵。

3.欧拉角与方向余弦矩阵的关系

本文采用惯导里习惯的312顺序定义欧拉角。

由于初等旋转矩阵选的是从动系到参考系的坐标变换阵，故连续旋转的矩阵相乘为右乘。
所以从参考系旋转到动系的方向余弦矩阵为

4.总结

  本文基本介绍了严恭敏的欧拉角定义方法，基本转动矩阵与等效旋转矢量相结合，具有知识的连贯性。而秦永元在定义基本旋转矩阵时，采用了矢量投影的方法。个人更喜欢严老师的定义方法。
  在初等矩阵定义上，严采用从动系到定系的坐标变换矩阵，而秦采用了从定系到动系的坐标变换矩阵，这使得两者在连续转动的矩阵连乘方向上有区别，前者是右乘，而后者左乘，依据都是矩阵连乘的链式法则。但可以证明，二者等价，只是转置的关系。
  关于航向角的定义，为何是北偏东为正，是导航界习惯使然。

5.参考文献

【1】秦永元《惯性导航》第二版P4-5
【2】严恭敏《捷联惯导算法与组合导航原理》附录B