P6772 [NOI2020]美食家

$Hyperlink$

https://www.luogu.com.cn/problem/P6772

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$Description$

给定一张$n$个点$m$条有向边，第$i$个点的权值是$c_i$，给定一个时间$T$，经过第$j$条边需要$t_j$的时间，不允许在某一个点停留，求运行$T$秒到达1经过的点的最大权值和（每个点被到达一次可以获得一次贡献），有$k$个时刻某些点会有额外贡献

$n\le 50,m\le 500,T\le 10^6,t_j\le 5,k\le 200$

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$Solution$

我们观察到$t_j$很小，最大是5，所以我们可以把每个点拆成五个，四个表示在路上（以及还差几秒），最后一个表示正好在这一个点上，那么我们令这五个点相邻点的权值为0，然后路径长度正好对应连到哪个点上，权值即为$c_{去到的点}$

那么我们就构造好了矩阵$A[i][j]$，表示经过1秒，$i$走到$j$的最大权值和
容易证明其是满足结合律的，注意直接乘可能会$T$，我们最后只关心能否到达1，所以我们直接把$A$的第一行存到$a$中，改成向量乘矩阵

此时如果没有那$k$个点，我们即可$O((5n{)}^{2}logk)$解决该题

对于中间的$k$个点，我们用类似快速乘的方法，将每次的间隔划分成$2$次方求和的形式，然后对应乘（具体做法是设$f_k$表示$A^{2^k}$）

这样问题就得到解决，时间复杂度：$O((5n^2)logk+30n^3)$

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$Code$

#include 
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;int n,m,k,x,y;
LL A[251][251],f[31][251][251],a[251],T,c[51],z,now;
struct node{LL T,y;int x;}Q[211];
inline bool cmp(node x,node y){return x.T<y.T;}
inline LL read()
{
	char c;LL d=1,f=0;
	while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
	return d*f;
}
inline void mulself()
{
	LL C[251][251];
	memset(C,0xcf,sizeof(C));
	for(register int i=1;i<=5*n;i++)
	 for(register int j=1;j<=5*n;j++)
	  for(register int k=1;k<=5*n;k++)
	    C[i][j]=max(C[i][j],A[i][k]+A[k][j]);
	memcpy(A,C,sizeof(C));
	return;
}
inline void mul(int q)
{
	LL cs[251];
	memset(cs,0xcf,sizeof(cs));
	for(register int i=1;i<=5*n;i++)
	 for(register int j=1;j<=5*n;j++)
	cs[j]=max(cs[j],a[i]+f[q][i][j]);
	memcpy(a,cs,sizeof(a));
	return;
}
signed main()
{
	memset(a,0xcf,sizeof(a));
	memset(f,0xcf,sizeof(f));
	memset(A,0xcf,sizeof(A));
	n=read();m=read();T=read();k=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	 for(register int j=1;j<=4;j++)
	  A[5*i-j][5*i-j+1]=0;
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
		x=read();y=read();z=read();
		A[5*x][5*y-z+1]=c[y];
	}
	memcpy(f[0],A,sizeof(f[0]));
	a[5]=c[1];
	for(register int i=1;i<=30;i++)
	{
		mulself();
		memcpy(f[i],A,sizeof(f[i]));
	}
	for(register int i=1;i<=k;i++) Q[i].T=read(),Q[i].x=read(),Q[i].y=read();
	Q[++k]=(node){T,0,0};
	sort(Q+1,Q+1+k,cmp);now=0;
	for(register int i=1;i<=k;i++)
	{
		LL jg=Q[i].T-now;
		for(register int j=0;j<=30;j++) if((jg>>j)&1) mul(j);
		a[5*Q[i].x]+=Q[i].y;
		now=Q[i].T;
	}
	if(a[5]<0) puts("-1");else
	printf("%lld",a[5]);
}