[BZOJ2436] [NOI2011] Noi嘉年华 [单调性优化DP]

Link
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2436

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题意
安排 $n$ 个活动，每个活动举办时间 $(s_i,t_i)$ ，同一时间两个场地只能有一个办活动（可以办好多个）。
对于每个询问，钦定一个活动必须举办（或者不钦定），要求最大化举办的活动数量较少的场地举办的活动数量。
输出这个最大值。

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好 我又老了

上来先排序离散化
考虑到实际上一个会场选的是“一段时间”，可以预处理出在某一段时间内开始并结束的活动数量 $p(a,b)$
很容易根据上面这东西大概地对转移有个猜想，然后就差不多可以设计出状态：
可以考虑设类似于 $f(k,i)$ ，那么前 $k$ 个时间，一个场地至多选 $i$ 个的时候另一个场地至多选 $f(k,i)$ 个
为了方便钦定，相应地考虑可能会设 $g(k,i)$ ，那么第 $k$ 个时间之后，一个场地至多选 $i$ 个的时候下略

考虑转移， $f(k,i)=\underset{d\in [0,k)}{\max }\max \{f(d,i)+p(d,k),f(d,i-p(d,k))\}$
那么 $f$ 和 $g$ 都可以 $O(n^3)$ 搞出来
然后考虑不加限制时的答案：暴扫一遍都可以搞出来了（。。。

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钦定一个活动 等于 钦定了那一整段时间内的都要选
然后两边的怎么做？
如果我们钦定的给某一个场地办，对于另外一个场地可以考虑枚举在钦定左右分别选了几个
好像也搞完了？
$ans(i,j)=\underset{x,y}{\max }\{\min \{x+y,f(i,x)+p(i,j)+g(j,y)\}\}$
$O(n^3)$ ……？不对。

最终答案并不等于 $ans(s_i,t_i)$ 。
（啊啊啊。。要是考起来我大概就被这东西坑爆了）

钦定了 $(L,R)$ ，但是实际上选的区域可能会更大 比如 $(l,r),l<L<R<r$ 这样
显然我们钦定还是有影响到 $(l,L)$ 和 $(R,r)$
所以我们需要处理出所有的 $ans(i,j)$ ，实际上是 $O(n^4)$ 的
然后可以搞记忆化搞剪枝等等玄学一发小常数骗分（甚至可能水掉这道题
（我作为一个不会水法选手 记笔记记笔记.jpg
（但是感觉我反而会玄学剪枝剪到常数变大啊（？？？

关于这部分中间差点掉坑，其实如果运气好是可以避免的
思考钦定某个活动要办，然后考虑枚举一下某个场地覆盖这个活动的那段启用的时间
好像也挺自然的（？）

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怎么优化成 $O(n^3)$ ？
dp 优化当然要考虑单调性啦，考虑 $ans(i,j)=\underset{x,y}{\max }\min$
思考 $x,y$ 最优决策点，那先固定 $i,j$
不难发现 $f(i,x)$ 和 $g(j,y)$ 在 $i$ 固定的时候有显然的单调性
换成 $ans(i,j)=\underset{x,y}{\max }\{\min \{f(i,x)+g(j,y),x+p(i,j)+y\}\}$
所以对于最优决策，按照 $x,y$ 中的某一个排序后，按顺序看 $x,y$ 必定是一个变大一个变小
那么维护指针就可以 $O(n)$ 找出所有最优决策点对 $(x,y)$
复杂度 $O(n^3)$

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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN = 405;
int n, s[MAXN], t[MAXN], tmp[MAXN], m;
int f[MAXN][MAXN], p[MAXN][MAXN], ans[MAXN][MAXN], g[MAXN][MAXN];
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d%d", &s[i], &t[i]);
		t[i] += s[i];
		tmp[++m] = s[i], tmp[++m] = t[i];
	}
	sort(tmp + 1, tmp + 1 + m);
	m = unique(tmp + 1, tmp + 1 + m) - tmp - 1;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		s[i] = lower_bound(tmp + 1, tmp + 1 + m, s[i]) - tmp;
		t[i] = lower_bound(tmp + 1, tmp + 1 + m, t[i]) - tmp;
		for (register int l = 1; l <= s[i]; ++l)
		for (register int r = t[i]; r <= m; ++r)
			++p[l][r];
	}
	for (register int i = 1; i <= m; ++i)
	for (register int j = 1; j <= n; ++j)
		f[i][j] = g[i][j] = -0x3f3f3f3f;
	for (register int k = 1; k <= m; ++k)
	for (register int i = 0; i <= p[1][k]; ++i)
	for (register int d = 1; d <= k; ++d)
	{
		f[k][i] = max(f[k][i], f[d][i] + p[d][k]);
		if (i >= p[d][k]) f[k][i] = max(f[k][i], f[d][i-p[d][k]]);
	}
	for (register int k = m; k >= 1; --k)
	for (register int i = 0; i <= p[k][m]; ++i)
	for (register int d = k; d <= m; ++d)
	{
		g[k][i] = max(g[k][i], g[d][i] + p[k][d]);
		if (i >= p[k][d]) g[k][i] = max(g[k][i], g[d][i-p[k][d]]);
	}
	for (register int i = 1; i <= m; ++i)
	for (register int j = i + 1; j <= m; ++j)
	for (register int fa, c, x = 0, y = n; x <= n; ++x)
	{
		fa = min(x + p[i][j] + y, f[i][x] + g[j][y]);
		while (y)
		{
			c = min(x + p[i][j] + y - 1, f[i][x] + g[j][y - 1]);
			if (fa <= c) fa = c, --y;
			else break;
		}
		ans[i][j] = max(ans[i][j], min(x + p[i][j] + y, f[i][x] + g[j][y]));
	}
	int Ans = 0;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) Ans = max(Ans, min(f[m][i], i));
	printf("%d\n", Ans);
	for (register int k = 1; k <= n; ++k)
	{
		Ans = 0;
		for (register int i = 1; i <= s[k]; ++i)
		for (register int j = m; j >= t[k]; --j)
			Ans = max(Ans, ans[i][j]);
		printf("%d\n", Ans);
	}
    return 0;
}