裴蜀定理

       先说一下什么是裴蜀定理吧

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。 ——引自百度百科

       定理的具体内容：

若 $a,b$ 是整数,且 $\gcd (a,b)=d$，那么对于任意的整数 $x,y,ax+by$ 都一定是 $d$ 的倍数，特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax+by=d$ 成立。 ——引自百度百科

       简单来说，我们设 $d=\gcd (a,b)$，那么对于方程 $ax+by=d$，一定存在一组整数解。并且对于方程 $ax+by=z$，如果满足 $d|z$，那么方程一定有整数解，否则无整数解。
       首先证明一下 $ax+by=d$ 一定有整数解：

证明如下：

抛开那条式子，先考虑模拟一下求 $\gcd (a,b)$ 的过程。

求 $\gcd$ 肯定是用辗转相除法嘛！

我们设 $a\le b$，由辗转相除法的过程（$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$）可以得到：
设$b=a{x}_1+r_1$ ， 那么 $b\%a$ 后 $b=r_1$

重复此过程，可以得到以下式子：

$b=a{x}_1+r_1$
$a=r_1{x}_2+r_2$
$r_1=r_2{x}_3+r_3$
……
$r_{k-3}=r_{k-2}{x}_{k-1}+r_{k-1}(1)$
$r_{k-2}=r_{k-1}{x}_k+r_k(2)$
$r_{k-1}=r_k{x}_{k+1}+r_{k+1}$

因为辗转相除法除到最后余数为 $0$，在这里，我们设 $r_{k+1}=0$，那么，$r_k$ 就是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，即 $r_k=d$。将 $r_k=d$ 带入 $(2)$ 式中得到：

$r_{k-2}=r_{k-1}{x}_k+d$

移项一下，得到：

$d=r_{k-2}-r_{k-1}{x}_k(3)$

将 $(1)$ 式移项，得到：

$r_{k-1}=r_{k-3}-r_{k-2}{x}_{k-1}(4)$

将 $(4)$式带入 $(3)$式得到：

$d=r_{k-2}-(r_{k-3}-r_{k-2}{x}_{k-1})x_k$

把式子展开之后，可以表示成

$d=m_1{r}_{k-2}+n_1{r}_{k-3}$

显然，我们上面用到的数都是整数，所以，$m_1$，$n_1$也一定是整数。

如果我们将原来的 $(3)$ 式表示成：$d=m{r}_{k-1}+n{r}_{k-2}$的话……

是不是有什么规律？

$d=m{r}_{k-1}+n{r}_{k-2}$
$d=m_1{r}_{k-2}+n_1{r}_{k-3}$

当我们将这两个式子一直像上面的做法一样一直搞下去，就可以得到：

$d=m_2{r}_{k-3}+n_2{r}_{k-4}$
$d=m_3{r}_{k-4}+n_3{r}_{k-5}$
$\cdots$
$d=m_{k}a+n_{k}b$

显然，$m_k$ 和 $n_k$ 一定是整数，故，$ax+by=d$ 一定有整数解。

得证。

于是，还有个重要的推论：

对于方程$ax+by=1$，只有当整数$a,b$互质时，方程才有整数解。

有了上面的证明，这个很容易证。

证明

用一下反证法。

设 $a,b$ 不互质，那么 $a,b$ 可以表示成 $a=q\times \gcd (a,b),b=p\times \gcd (a,b)$，带入上面的式子，得到：

$q\times \gcd (a,b)\times x+p\times \gcd (a,b)\ast y=1$

两边同时除以 $\gcd (a,b)$，得到：

$qx+py=\frac{1}{\gcd (a,b)}$

显然，如果此时 $a,b$ 不互质，那么等式的右边已经变成了一个小数，那么，该方程一定不存在整数解。

故只有当整数 $a,b$ 互质时，该方程才有整数解

以及可以顺便得到

$a,b$ 互质的充要条件是，满足方程 $ax+by=1$ 有整数解

得证。

然后，判断二元不定方程是否有整数解的方法出现了：

对于方程 $ax+by=z$，只有满足 $\gcd (a,b)|z$，方程才有整数解。

证明依然十分简单：

证明

设 $d=\gcd (a,b),z=d\times q$。

对于方程 $ax+by=d$，我们设有一组解为 $x_1,y_1$，那么就有：

$a{x}_1+b{y}_1=d$

两边同时乘上 $q$，得到：

$a{x}_1\times q+b{y}_1\times q=d\times q$
$\because z=d\ast q$
$\therefore$ 方程 $ax+by=z$，一定存在一组整数解为 $x=x_1\times q,y=y_1\times q$

得证。

然后……裴蜀定理还可以扩展到$n$元不定方程上。

对于不定方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+...+a_n{x}_n=z$，满足$\gcd (a_1,a_2,...,a_n)|z$时，方程才有整数解

证明嘛……太麻烦了不写了，参考上面的二元不定方程的证明自己意会一下就好了。

以及还有另一条：

对于不定方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+...+a_n{x}_n=1$，只有所有系数$a_1,a_2,...,a_n$的最大公约数为1时，方程才有整数解。

顺便也得到：

所有系数$a_1,a_2,...,a_n$的最大公约数为1的充要条件是：满足不定方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+...+a_n{x}_n=1$

证明嘛……也不写了。。大家明白就好qwq

顺便提一句

裴蜀定理的应用——exgcd

exgcd