hdu1695 GCD

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
题意：有两个区间[a，b]和[c，d]求这两个区间中gcd(i,j)==k的对数， i $\in$[a，b]，j$\in$[c，d]。
不能重复，数对（i，j）和（j，i）视为相同。

另一道差不多题目的题解参考：https://blog.csdn.net/qq_40942372/article/details/88656852

这道题还特别说了是区间[1，a]和[1，b]型的，不同的还有求的是gcd==k以及不能重复。

直接到这一步 $f(n)=\sum (u(d/n)\ast g(d))$_n|d
这里n=k，所以 求$f(k)=\sum (u(d/k)\ast g(d))$
$g(d)$也一样，还是等于$(a/d)\ast (b/d)$

g(d)为gcd(i,j)%d==0的对数，也就是说i和j都是d的倍数，那么就看i有几个j有几个，相乘就是g(d)了
i和j的个数很显然就是上界/d，所以g(d)=(a/d)∗(b/d)最后f(k)=∑(u(d/k)∗(a/d)∗(b/d))，在范围内枚举d（d为k的倍数），当然也可以直接把上界全部除k，这样的话f(k)=∑(u(d/k)∗(a/d)∗(b/d))就变成了f(1)=∑(u(d)∗(a/k/d)∗(b/k/d))，枚举可以方便一点。

如何处理重复：稍微找几个例子如 1 3 1 5 1
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，1）（2，3）（2，5）
（3，1）（3，2）

重复的数字都是包含在上界较小的那个区间中的，不会超过这个区间的右端点。想一想，如果在两个小区间求gcd(i,j)==k的结果会是什么，不就是这些重复的再加上一个么，向上面例子的话就是
（1，1）（1，2）（1，3）
（2，1）（2，3）
（3，1）（3，2）
重复的数量就是（两个小区间求gcd(i,j)==k的结果-1）/2
最终的答案就是之前算出来的减去这部分

优化还是一样的分块优化，可以看那篇

小坑点：k可以等于0，特判一下

参考代码：

#include
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e5+5;
const int maxn=1e5;
int mu[N],prime[N];
bool vis[N];
void work_mobius()
{
    mu[1]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
        mu[i]=mu[i-1]+mu[i];
}

ll solve(int b,int d){
    ll ret=0;
    for(int l=1,r=0;l<=min(b,d);l=r+1){
        r=min(b/(b/l),d/(d/l));
        ret+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(b/l)*(d/l);
    }
    return ret;
}


int main(){
    work_mobius();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int ca=1;ca<=t;ca++){
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(k==0){
            printf("Case %d: 0\n",ca);
            continue;
        }
        if(b>d)swap(b,d);//这道题目可以不需要容斥，这样写即使左端点不是1也是对的
        ll ans=solve(b/k,d/k)-solve((a-1)/k,d/k)-solve(b/k,(c-1)/k)+solve((a-1)/k,(c-1)/k);
        ll duo=solve(b/k,b/k)-solve((a-1)/k,b/k)-solve(b/k,(a-1)/k)+solve((a-1)/k,(a-1)/k);
        printf("Case %d: %lld\n",ca,ans-duo/2);
    }
    return 0;
}