《剑指Offer》Java刷题 NO.46 圆圈中最后剩下的数字 /约瑟夫环问题(公式推导，数学规律，过程模拟LinkedList)

《剑指Offer》Java刷题 NO.46 圆圈中最后剩下的数字 /约瑟夫环问题(公式推导，数学规律，过程模拟LinkedList)

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时间：2020-06-27
题目：
每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
如果没有小朋友，请返回-1

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思路：
方法一（过程模拟）：
每一次要移去的数字的位置indexNew与起始位置indexOld和当前总数字个数nunberNew = （indexOld+ m - 1）% nunberNew ，因为是按环来取元素，所以采用对长度取余的方式，其中，最开始的起始位置为0，之后每一次的起始位置为indexNew（原数字被删除后indexNew自动指向下一个数字）。找到了这个规律之后，用一个LinkedList（或者ArrayList）配合一个简单的循环即可模拟。
方法二（公式推导）：
如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是（m-1）%n出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
…
…
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去刚好就是n个人情况的解。变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n。
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。
可以用迭代法也可以用递归法

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Java代码：

import java.util.LinkedList;

/**
 * @author LiMin
 * @Title: LastRemainingNumber
 * @Description: 圆圈中最后剩下的数字/约瑟夫环问题
 * @date 2020/6/289:34
 */
public class LastRemainingNumber {
    /**
     * 用LinkedList进行过程模拟
     */
    public int lastRemainingNumberOne(int n, int m) {
        if (m <= 0 || n <= 0) return -1;
        LinkedList<Integer> temp = new LinkedList<>();
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) temp.add(i);
        while (temp.size() > 1) {
            index = (index + m - 1) % temp.size();//每次选出来要删除的索引值
            temp.remove(index);
        }
        return temp.get(0);
    }

    /**
     * 公式推导——递归法
     */
    public int lastRemainingNumberTwo(int n, int m) {
        if (m <= 0 || n <= 0) return -1;
        if (n == 1) return 0;
        return (lastRemainingNumberTwo(n - 1, m) + m) % n;
    }

    /**
     * 公式推导——迭代法
     */
    public int lastRemainingNumberThree(int n, int m) {
        if (m <= 0 || n <= 0) return -1;
        if (n == 1) return 0;
        int result = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            result = (result + m) % i;
        }
        return result;
    }
}