POJ3241 曼哈顿距离最小生成树

=.= 为什么莫队专题里面会有原理的题。。莫队是基于曼哈顿距离最小生成树提出的一种分块暴力（个人理解）算法，以后再说，先说这题。

因为不是图论选手，我图论非常菜，这题也是见都没见过，所以看了很多题解，来总结一下。

虽然说看了很多题解，但你搜搜就会发现，全部的讲解都是 一 模 一 样 的 ！一点变动都没有的那种，所以我就直接写轮眼过来了。

http://poj.org/problem?id=3241

/*

曼哈顿距离最小生成树问题可以简述如下：

给定二维平面上的N个点，在两点之间连边的代价为其曼哈顿距离，求使所有点连通的最小代价。

朴素的算法可以用O(N2)的Prim，或者处理出所有边做Kruskal，但在这里总边数有O(N2)条，所以Kruskal的复杂度变成了O(N2logN)。

但是事实上，真正有用的边远没有O(N2)条。我们考虑每个点会和其他一些什么样的点连边。可以得出这样一个结论，以一个点为原点建立直角坐标系，在每45度内只会向距离该点最近的一个点连边。

这个结论可以证明如下：假设我们以点A为原点建系，考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2)，不妨设|AB|≤|AC|（这里的距离为曼哈顿距离），如下图：

                                                    

|AB|=x1+y1，|AC|=x2+y2，|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内，有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论：

1.      x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾；

2.      x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2，|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1，那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2，|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾，故|AC|≥|BC|；

3.      x1>x2且y1≤y2。与2同理；

4.      x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|，即有|AC|>|BC|。

综上有|AC|≥|BC|，也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。

这种连边方式可以保证边数是O(N)的，那么如果能高效处理出这些边，就可以用Kruskal在O(NlogN)的时间内解决问题。下面我们就考虑怎样高效处理边。

我们只需考虑在一块区域内的点，其他区域内的点可以通过坐标变换“移动”到这个区域内。为了方便处理，我们考虑在y轴向右45度的区域。在某个点A(x0,y0)的这个区域内的点B(x1,y1)满足x1≥x0且y1-x1>y0-x0。这里对于边界我们只取一边，但是操作中两边都取也无所谓。那么|AB|=y1-y0+x1-x0=(x1+y1)-(x0+y0)。在A的区域内距离A最近的点也即满足条件的点中x+y最小的点。因此我们可以将所有点按x坐标排序，再按y-x离散，用线段树或者树状数组维护大于当前点的y-x的最小的x+y对应的点。时间复杂度O(NlogN)。

至于坐标变换，一个比较好处理的方法是第一次直接做；第二次沿直线y=x翻转，即交换x和y坐标；第三次沿直线x=0翻转，即将x坐标取相反数；第四次再沿直线y=x翻转。注意只需要做4次，因为边是双向的。

至此，整个问题就可以在O(NlogN)的复杂度内解决了。

*/以上为讲解，下面是略微详解及注释（需要注意的地方）。

 

关于坐标变换：以第一象限为例，第一次可以遍历一半，当x、y翻转以后就可以遍历到第一象限另一半；然后把所有点以x轴对称，便可得到原先第四象限的一半，然后再翻转x、y，便可得到原先第四象限的另一半。那么第二、三象限呢？已经不用遍历了，以第一象限为例，因为我们是对所有点遍历其第一象限，假设以y为原点，x在第三象限，其实相当于以x为原点，y在x第一象限；第二象限也同理。所以我们只需遍历一、四象限即可。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
struct point
{
    int x,y,id;
    bool operator < (const point& p) const
    {
        if(x!=p.x)
            return x=1)
    {
        if(tree[i].val>val)
            tree[i].val=val,tree[i].pos=pos;
        i-=lowbit(i);  // 每个当前新增点只对前面有影响，所以减(前缀)
    }
}
int query(int x)
{
    int i=x,val=tree[x].val,pos=tree[x].pos;
    while(i=1;i--)  // 按x从大到小遍历，这样不会错过在第一象限且斜率>1的点。
        {
            num=lower_bound(b+1,b+tot,c[i])-b;
            pos=query(num);
            if(pos!=-1) e[tott++]={a[i].id,a[pos].id,abs(a[pos].x-a[i].x)+abs(a[pos].y-a[i].y)}; // 因为坐标不断变换，我们必须找到一个统一的编号来最后形成最小生成树，所以就以初始编号即可。
            update(num,i,a[i].x+a[i].y);
        }
    }
    sort(e+1,e+tott);
    for(i=1;i