复习一下信号与系统知识
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT（离散时间傅里叶变换，Discrete-time Fourier Transform）的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
下面给出离散傅里叶变换的变换对：
-
对于
N点序列 ，它的离散傅里叶变换（DFT）为
-
其中
e 是自然对数的底数，
i 是虚数单位。通常以符号 表示这一变换，即
-
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：
- 可以记为：
-
- 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和 1/N。有时会将这两个系数都改成 。
从连续到离散
连续时间信号x(t) 以及对应的连续傅里叶变换都是连续函数。由于数字系统只能处理有限长的离散信号，因此必须将x和
都离散化，并且建立对应的傅里叶变换。
假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t)离散化，就可以得到有限长离散信号，记为xdiscrete(t)。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
它的傅里叶变换为
这就是x(t)在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
下面将频域信号转化为有限长离散信号。与对时域信号的处理类似，假设频域信号是带限的，再经过离散化，即可得到有限长离散信号。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为：
即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 在DTFT频域上采样：
令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。
DFT与CT
下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换（CT，Continuous Fourier Transform）的关系。连续傅里叶变换
的采样为：
将这个积分以黎曼和的形式近似，有：
这一结论指出离散傅里叶变换确实是连续傅里叶变换在某种意义上的近似。不过必须注意以下两点：
- 时域采样必须满足采样定理
- 离散傅里叶变换的处理对象是时限的
为此，通常对连续信号的时域采样再做一次加窗处理（Windowing），这样就得到带限的有限长离散信号。
DFT与DTFT离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n]（n=0,...,N-1）的DTFT为：
对在离散的频点上采样
即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。实际上是这个周期序列的主值序列。