离散傅里叶变换（DFT）(二)

   

1. 各种频率之间的关系

模拟频率：f=1/T，其中 T 是变化周期，单位是秒 s，f 是模拟频率，单位是 HZ/s, 因此, f 的物理含义是信号在 1 秒钟内含有变化周期的个数。

模拟角频率：y=sin(Ωt)  其中 Ω 表示的是模拟角频率，Ω=2π/T 单位是 rad/s ，其表示信号在在 2π 时间内变化周期的个数。假如另 t=1s 那么 Ωt 则表示在 1 秒钟绕圆圈运动的次数（这个是基于 (sinθ)^2+cos(θ)^2=1 ，正弦信号是单位圆上的点在x轴上的投影）。

f 与 Ω 之间的关系： Ω=2πf  根据上面说的物理意义这个也不难理解，f 是 1 s 内周期个数，Ω 是 2π 时间内周期个数，因此系数是 2π。上述这几个频率是描述的模拟信号中的频率关系，由于计算机只能处理离散信号，那么就必须对信号进行采样。假设采样率为 fs，那么采样间隔 Ts=1/fs。

数字频率：在离散信号中 y=sin(ΩnTs)=sin(wt) 其中 w 就是数字频率，根据以上分析可知，w=ΩTs=Ω/fs 所以数字频率是模拟角频率对采样率的归一化频率。

    2. DFT中的频率及其物理意义

根据离散傅里叶系列1中的公式（2.2）和上述对各种频率分析可知，

               

所以，声音的频率与采样率之间的关系如公式（2.2）所示：

                              

在DFT中，假设对N个采样点进行DFT变换，那么在频域也将得到N个频率点，这也意味 N 点DFT的频率分辨率为 fs/N 。假如音频信号的采样率 fs 为1024，如果对 1s 的数据进行分析，即 N=1024，那么此时的分辨率为 1HZ，如果对 2s 的采样数据进行分析，那么此时的分辨率为 0.5HZ。因此，如果想提高频率分析的粒度，就需要提高 N 的值。     

        3. 实数序列DFT的对称性

在音频分析中，有两个疑问 （1）大咖们常说，为了减少计算量，对于 N 点的傅里叶变换我们常常只分析 前 N/2 频率点，这样会不会丢失信息啊？；（2）根据奈奎斯特采样定理，采样率 fs 至少是音频信号实际频率的两倍才能够恢复原始信号。根据公式（2.1）我们可以知道，由于 k 的最大值为 N-1, DFT变换后的最大频率实际上远远超过音频频率 f。这两个问题之间有什么关系呢？ 下面，我尝试从实数DFT 的对称性来说一下我个人的理解。

实数序列DFT的对称性如公式（3.1）和（3.2）：

 

由上述公式可得，X(k) 与 X(N-k) 是共轭关系，由于在音频分析中通常使用DFT的幅度进行计算，也就是取复数模值得平方，因此 X(k) 与 X(N-k)的幅值形成对称关系，只计算前半部分的DFT点数，不会损失音频信息。同时，根据公式 （2.1）前半部分的也覆盖了原始信号的频率范围，后半部分的频率范围也超过了信号的最高频率，也没有分析的价值。