图论 —— 二分图 —— 匈牙利算法
【基本概念】
1.交替路
从一个未匹配点出发，依次经过 非匹配边、匹配边、非匹配边… 形成的路径
2.增广路
定义：设 M 为二分图 G 已匹配边的集合，若 P 是图 G 中一条连通两个未匹配点的路径（起点在 X/Y 部，终点在 Y/X 部），且属 M 的边（匹配边）与不属 M 的边（非匹配边）在 P 上交替出现，则称 P 为相对 M 的一条增广路径。
由于增广路的第一条边是没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，...，最后一条边没有参与匹配，并且起点和终点还没有被选择过，显然 P 有奇数条边。
简单来说，从一个未匹配点出发，走交替路，若途径另一未匹配点（除起点外），则这条交替路称为增广路。
如下图，左图中的一条增广路如右图所示，图中的匹配点均用红色标出
3.增广路性质
- P 的长度必为奇数，第一条边和最后一条边都不属于 M，且两个端点分属两个集合，均未匹配。
- P 的非匹配边比匹配边多一条。
- P 经过取反操作可以得到一个更大的匹配 M’。
- M 为 G 的最大匹配当且仅当不存在相对于 M 的增广路径。
4.增广路定理
由于增广路中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，因此交换增广路中的匹配边与非匹配边不会破坏匹配的性质。
由增广路性质可知，只要把增广路中的匹配边和非匹配边交换，交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
故而，可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点，找不到增广路时，即达到最大匹配，这就是增广路定理。
5.匈牙利树
匈牙利树一般由 DFS 构造（类似于 DFS 树），其是从一个未匹配点出发进行 DFS（必须走交替路），直到不能再扩展为止。
如下图，通过左侧的二分图，进行 DFS 可以得到右侧的树，但这棵树存在一叶结点为非匹配点（7号），而匈牙利树要求所有叶结点均为匹配点，故这棵树不是匈牙利树。
但若原图中不含 7 号结点，那么从 2 号结点出发就会得到一棵匈牙利树，如下图
【匈牙利算法流程】
匈牙利算法是用增广路来求最大匹配的算法，在求最大匹配前，需要先用 DFS 或 BFS 找到增广路。
1.流程
- 从左边第 1 个点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路
1）若经过一个未匹配点，则寻找成功，更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
2）若一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。 - 由于找到增广路后需要沿着路径更新匹配，因此需要一个结构来记录路径上的点，DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 pre 数组（前驱结点）。
2.性能比较
无论是使用 DFS 还是 BFS，两个版本的时间复杂度均为 O(V*E)。
DFS 的优点是思路清晰，代码量少，但性能不如 BFS；BFS 的优点是速度较快，但代码量大
对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本，对于稠密图，两者不相上下，因而当图为稀疏图时，常选用 DFS 版本，当图为稠密图时，常选用 BFS 版本。
3.koning 定理及推论
1）基本概念
k-正则图：各顶点的度均为 k 的无向简单图
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最大独立集数：选取最多的点集，使点集中任意两点均不相连
最小点覆盖数：选取最少的点集，使任意一条边都至少有一个端点在点集中
2）内容
- 最大匹配数 = 最小点覆盖数
- 最大独立集数 = 顶点数 - 最大匹配数
【实现】
1.最大匹配数/最小点覆盖数
DFS 版本
int n,m;//x、y中结点个数，下标从0开始
bool vis[N];//vis[i]表示是否在交替路中
int link[N];//存储连接点
vector G[N];//存边
bool dfs(int x){
for(int i=0;i BFS 版本
int n,m;//左边点数,右边点数
int vis[N];//vis[i]表示是否在交替路中
int link[N];//存连接点
int pre[N];//存前驱结点
vector G[N];//存边
queue Q;
int hungarian(){
memset(vis,-1,sizeof(vis));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
memset(link,-1,sizeof(link));
int ans=0;//记录最大匹配数
for(int i=1;i<=n;i++){
if(link[i]==-1){//若点未匹配
pre[i]=-1;//没有前驱
while(!Q.empty())//清空队列
Q.pop();
Q.push(i);
bool flag=false;
while(!Q.empty() && !flag){
int x=Q.front();
for(int j=0;j=0)//在已匹配点中
pre[link[y]]=x;
else {//找到未匹配点，交替路变增广路
flag=true;
int d=x;
int e=y;
while(d!=-1){//找到一个未匹配点，无法构成匈牙利树，让所有点不断的往回更新，重选下一个
int temp=link[d];
link[d]=e;
link[e]=d;
d=pre[d];
e=temp;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if(link[i]!=-1)//统计最大匹配数
ans++;
}
}
return ans;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
while(m--){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}
printf("%d\n", hungarian());//输出最大匹配数
}
return 0;
}
2.最大独立集
int n,m;
bool vis[N];
int link[N];
bool G[N][N];
bool dfs(int x){
for(int y=1;y<=m;y++){
if(G[x][y]&&!vis[y]){
vis[y]=true;
if(link[y]==-1 || dfs(link[y])){
link[y]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int hungarian(){
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,false,sizeof(vis));
if(dfs(i))
ans++;
}
return ans;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){
memset(link,-1,sizeof(link));
memset(G,true,sizeof(G));
while(m--){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x][y]=false;//不满足条件则连一条边
}
int mate=hungarian();//最大匹配数
int res=n-mate;//最大独立集
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
3.经典应用——行列拆点建图
1）问题
对于一个 n*m 的图，" . " 代表空白区域，" # " 代表墙，现在要向空白区域内放棋子，要求同一行、同一列只能放一个棋子，除非该行/列上有墙阻隔，问最多能放多少枚棋子
如下图，对于一个 4*4 的图，黑色代表墙，最多能放 5 枚棋子
2）解答
只有在墙的阻隔情况下，才会出现一行/列出现多个点的情况，那么可以考虑进行缩点，将同一行且没有墙体阻隔的区域缩成一个点，放到左点集中，将同一列且没有墙体阻隔的区域缩成一个点，放到右点集中，从而建成一个二分图
假设 i 为行编号，j 为列编号，若 i-j 之间存在一条边，就相当于在方格 (i,j) 上放了一个点，这个假设使得在没有墙体阻隔的情况下，i 行 j 列不能再放其他的点，那么在不考虑 不能同行同列 的情况下，将所有边连接起来，即行列缩点后，对应方格编号连边
建好图后，在图上求最大匹配即可
3）实现
int n,m;//n行m列
bool vis[N];//vis[i]表示是否在交替路中
int link[N];//存储连接点
int G[N][N];//存边
char str[N][N];
int x[N][N],cntX;//行点集
int y[N][N],cntY;//列点集
bool dfs(int x){
for(int y=0;y