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卡尔曼最优预测以及最优滤波方程的相关推导--最优滤波篇

上一篇帮大家回忆了相关数学基础，介绍了相关问题背景以及最优预测方程的推导，本篇将开启卡尔曼最优滤波方程的推导。同时，在本篇的最后会给出两个详细的实际应用的例子帮助大家理解应用卡尔曼最优滤波。

一、问题的提法

对于线性离散系统，其状态空间描述为：

$\left\{ \begin{array}{ll} X(k+1) = \Phi(k+1,k)X(k)+G(k+1,k)U(k) + \Gamma(k+1,k)W(k) \\ Z(k)=H(k)X(k)+V(k) \end{array} \right.$

在最优滤波篇中，我们的基本假设跟前面的最优预测的部分相同。因此我们可以把问题描述为：在给出观测序列的条件下，要求找出的线性最优估计 $\hat{X(k+1|k+1)}$ ，使得估计值 $\hat{X(k+1|k+1)}$ 与之间的误差： $X(k+1|k+1)=X(k+1)-\hat{X(k+1|k+1)}$ 的方差最小，同时要求估计值 $\hat{X(k+1|k+1)}$ 是观测序列的线性函数，且估计是无偏的，即 $E[\hat{X(k+1|k+1)}]=E[X(k+1)]$

二、线性离散系统的卡尔曼最优滤波方程

通常在推导卡尔曼最优滤波方程时，我们同样先忽略控制输入信号的作用，即认为输入为0，这样我们可以得到系统的状态空间描述为：

$\left\{ \begin{array}{ll} X(k+1) = \Phi(k+1,k)X(k) + \Gamma(k+1,k)W(k) \\ Z(k)=H(k)X(k)+V(k) \end{array} \right.$

在获取到观测序列后，假定我们已经找到状态的最优滤波估计 $\hat{X(k|k)}$ ，同样在时刻，在还未获取到观测值的情况下，我们可以先得到一步最优估计 $\hat{X(k+1|k)}$ ，由于为零均值的白噪声序列，其最优估计为，因此：

$\hat{X(k+1|k)} = \Phi(k+1,k)\hat{X(k|k)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)$

同样也是零均值的白噪声序列，我们可以得到观测值的预测值：

$\hat{Z(k+1|k)}=H(k+1)\hat{X(k+1|k)}$

在我们获取到观测值之后，跟在最优预测里面一样，我们来讨论一下观测值以及其预测值 $\hat{Z(k+1|k)}$ 之间的误差，以期用于修正对的预测值 $\hat{X(k+1|k)}$ 从而得到 $\hat{X(k+1|k+1)}$ ：

$Z(k+1|k)=Z(k+1)-\hat{Z(k+1|k)}$

$=H(k+1)X(k+1)+V(k+1)-H(k+1)\hat{X(k+1|k)}$

式中的 $X(k+1|k)=X(k+1)-\hat{X(k+1|k)}$ 是状态的预测估计误差。不难看出，误差主要由以及的观测误差项构成。一般来讲的维数与的维数不同，因而也不能直接使用来修正 $\hat{X(k+1|k)}$ 。同样，由于采用的是线性最小方差估计，因此跟最优预测一样，我们使用加权的方法来修正，同样引入一个待定的最优滤波增益矩阵，此时我们可以获得的线性最小方差估计 $\hat{X(k+1|k+1)}$ ：

$\hat{X(k+1|k+1)} = \hat{X(k+1|k)} + K(k+1)Z(k+1|k)$

也就是：

$\hat{X(k+1|k+1)} = \hat{X(k+1|k)} + K(k+1)[Z(k+1)-H(k+1)\hat{X(k+1|k)}] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.2)$

也可以写为：

$\hat{X(k+1|k+1)} = \hat{X(k+1|k)} + K(k+1)[H(k+1)X(k+1|k) + V(k+1)]$

下面我们来求最优增益滤波矩阵。由正交定理，的滤波估计误差：

$X(k+1|k+1) = X(k+1)-\hat{X(k+1|k+1)}$

$=X(k+1)-\hat{X(k+1|k)} - K(k+1)[H(k+1)X(k+1|k) + V(k+1)]$

应与观测值正交，也就是：

即：

$E\left \{ [X(k+1|k)-K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)-K(k+1)V(k+1)][H(k)X(k+1)+V(k+1)]^T \right \}$

$= E[X(k+1|k)X(k+1)^TH(k+1)^T] + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)V(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)X(k+1)^TH(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)V(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)V(k+1)X(k+1)^TH(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)V(k+1)V(k+1)^T]}$

$= E[X(k+1|k)X(k+1)^T]H(k+1)^T + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)V(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)E[X(k+1|k)X(k+1)^T]H(k+1)^T} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)E[X(k+1|k)V(k+1)^T]} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)E[V(k+1)X(k+1)^T]H(k+1)^T} - \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)E[V(k+1)V(k+1)^T]}=0$

观察上式不难看出，右侧第2、4、5项均为0，令：

$P(k+1|k)=E[X(k+1|k){X(k+1|k)^T}]$

为最优预测误差方差阵。则上式可化简为：

${P(k+1|k)H(k+1)^T - K(k+1)H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T - {K(k+1)R_{k+1}}=0}$

由此我们可以计算出最优滤波增益矩阵:

$K(k+1) = P(k+1|k)H(k+1)^T[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]^{-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)$

由于引入了新的最优预测误差方差阵，下面我们来计算。

由：

$\hat{X(k+1|k)} = \Phi(k+1,k)\hat{X(k|k)}$

我们可以得到：

$X(k+1|k)=X(k+1)-\hat{X(k+1|k)} \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \Phi(k+1,k)X(k) + \Gamma(k+1,k)W(k) - \Phi(k+1,k)\hat{X(k|k)}} \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \Phi(k+1,k)X(k|k) + \Gamma(k+1,k)W(k)}$

又：

$P(k+1|k)=E[X(k+1|k){X(k+1|k)^T}] \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = E[\Phi(k+1,k)X(k|k) + \Gamma(k+1,k)W(k)][\Phi(k+1,k)X(k|k) + \Gamma(k+1,k)W(k)]^T}$

$= E[\Phi(k+1,k)X(k|k)X(k|k)^T\Phi(k+1,k)^T] + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[\Phi(k+1,k)X(k|k)W(k)^T\Gamma(k+1,k)^T]} + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[\Gamma(k+1,k)W(k)X(k|k)^T\Phi(k+1,k)^T]}+ \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ E[\Gamma(k+1,k)W(k)W(k)^T\Gamma(k+1,k)^T]}$

$=\Phi(k+1,k)E[X(k|k)X(k|k)^T]\Phi(k+1,k)^T + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \Phi(k+1,k)E[X(k|k)W(k)^T]\Gamma(k+1,k)^T} + \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \Gamma(k+1,k)E[W(k)X(k|k)^T]\Phi(k+1,k)^T}+ \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \Gamma(k+1,k)E[W(k)W(k)^T]\Gamma(k+1,k)^T}$

观察上式不难发现第2、3项为0，因此上式可以化简为：

$P(k+1|k)=\Phi(k+1,k)P(k|k)\Phi(k+1,k)^T + {\Gamma(k+1,k)Q_k\Gamma(k+1,k)^T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)$

上式中 $P(k|k)=E[X(k|k){X(k|k)^T}]$ 为最优滤波误差方差阵，下面我们来计算其表达式。由定义：

$P(k+1|k+1)=E[X(k+1|k+1){X(k+1|k+1)^T}] \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E[X(k+1|k)-K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)-K(k+1)V(k+1)]} \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [X(k+1|k)-K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)-K(k+1)V(k+1)]^T}$

$=E[X(k+1|k)X(k+1|k)^T] - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)X(k+1|k)^TH(k+1)^TK(k+1)^T]} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)V(k+1)^TK(k+1)^T]} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)X(k+1|k)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)X(k+1|k)^TH(k+1)^TK(k+1)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)H(k+1)X(k+1|k)V(k+1)^TK(k+1)^T]} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)V(k+1)X(k+1|k)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)V(k+1)X(k+1|k)^TH(k+1)^TK(k+1)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[K(k+1)V(k+1)V(k+1)^TK(k+1)^T]}$

$=E[X(k+1|k)X(k+1|k)^T] - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)X(k+1|k)^T]H(k+1)^TK(k+1)^T} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ E[X(k+1|k)V(k+1)^T]K(k+1)^T} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)E[X(k+1|k)X(k+1|k)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)E[X(k+1|k)X(k+1|k)^T]H(k+1)^TK(k+1)^T} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)E[X(k+1|k)V(k+1)^T]K(k+1)^T} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)E[V(k+1)X(k+1|k)^T]} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)E[V(k+1)X(k+1|k)^T]H(k+1)^TK(k+1)^T} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)E[V(k+1)V(k+1)^T]K(k+1)^T}$

观察上式，不难看出第3、6、7、8项均为0，即可进一步化简为：

$P(k+1|k+1)=P(k+1|k) - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T} - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)P(k+1|k)} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T} + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)R_{k+1}K(k+1)^T}$

$=P(k+1|k) - P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T - K(k+1)H(k+1)P(k+1|k) + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ K(k+1)[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]K(k+1)^T}$

$=P(k+1|k) - P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T - K(k+1)H(k+1)P(k+1|k) + \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ P(k+1|k)H(k+1)^T[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]^{-1}[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]K(k+1)^T}$

$=P(k+1|k) - P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T - K(k+1)H(k+1)P(k+1|k) \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +P(k+1|k)H(k+1)^TK(k+1)^T}$

将式代入上式，由此得到：

$P(k+1|k+1) = P(k+1|k) - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P(k+1|k)H(k+1)^T[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]^{-1}H(k+1)P(k+1|k) \ \ \ \ \ (2.5)}$

方程即构成了卡尔曼最优滤波方程组，将它们写到一起就是：

(1)最优预测估计方程：

$\hat{X(k+1|k)} = \Phi(k+1,k)\hat{X(k|k)}$

(2)最优滤波估计方程：

$\hat{X(k+1|k+1)} = \hat{X(k+1|k)} + K(k+1)[Z(k+1)-H(k+1)\hat{X(k+1|k)}]$

(3)最优滤波增益矩阵方程：

$K(k+1) = P(k+1|k)H(k+1)^T[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]^{-1}$

(4)最优预测估计误差方差阵方程：

$P(k+1|k)=\Phi(k+1,k)P(k|k)\Phi(k+1,k)^T + {\Gamma(k+1,k)Q_k\Gamma(k+1,k)^T}$

(5)最优滤波估计误差方差阵方程：

$P(k+1|k+1) = P(k+1|k) - \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P(k+1|k)H(k+1)^T[H(k+1)P(k+1|k)H(k+1)^T + R_{k+1}]^{-1}H(k+1)P(k+1|k)}$

当然，很多时候我们经常看到的是另一种形式的，由之前的推导可知：

式中的为单位阵。

实际系统中，很多时候系统的输入并不为0，也就是 $U(k) \neq 0$ ，则仅需将最优预测估计方程修改为：

$\hat{X(k+1|k)} = \Phi(k+1,k)\hat{X(k|k)}+G(k+1,k)U(k)$

而其他方程无需变化，具体推导过程类似。

此外，五组方程也经常写为：

$1.\hat{X(k|k-1)} = \Phi(k,k-1)\hat{X(k-1|k-1)}+G(k,k-1)U(k-1)$

$2.\hat{X(k|k)} = \hat{X(k|k-1)} + K(k)[Z(k)-H(k)\hat{X(k|k-1)}]$

$3.K(k) = P(k|k-1)H(k)^T[H(k)P(k|k-1)H(k)^T + R_{k}]^{-1}$

$4.P(k|k-1)=\Phi(k,k-1)P(k-1|k-1)\Phi(k,k-1)^T + {\Gamma(k,k-1)Q_{k-1}\Gamma(k,k-1)^T}$

三、线性离散系统的卡尔曼最优滤波的算法实现

(1)将上一次的最优滤波估计值 $\hat{X(k|k)}$ 代入最优预测估计方程计算出一步最优预测 $\hat{X(k+1|k)}$ 。

(2)根据上一次的最优滤波误差方差阵代入最优预测估计误差方差阵方程计算出。

(3)由上一步计算出的，代入最优滤波增益矩阵方程计算出。

(4)在获取到新的观测值后，用上一步得到的分别代入最优滤波估计方程，得到最优滤波估计值 $\hat{X(k+1|k+1)}$

(5)最后由代入最优滤波估计误差方差阵，更新滤波估计误差方差阵以便于下一次迭代。

四、举例实现卡尔曼最优滤波算法

1.在很多数模混合系统中，我们经常需要使用ADC测量模拟输出以便下一步的数字处理。但是实际模拟系统中，各放大器、电源等均存在噪声，因此反映在输出的模拟信号中也存在大量的随机噪声，同时ADC采集的时候也会存在测量噪声，且这两种噪声一般都相互独立，且绝大部分噪声均服从均值为0的高斯分布，因此满足卡尔曼滤波的基本假设条件，可以使用卡尔曼滤波获得最优估计值。下面我们以一维卡尔曼滤波为例，具体实现一下卡尔曼滤波算法。

首先对系统进行建模，对于一个采样系统来说，我们可以假定系统没有输入，在很短的时间内系统的状态几乎不变但是噪声每时每刻都存在，且观测值就是实际ADC的输出值，但是夹带着观测噪声，也就是：

$\left\{ \begin{array}{ll} X(k) = X(k-1) + W(k-1) \\ Z(k-1)=X(k-1) + V(k-1) \end{array} \right.$

因此：

系统矩阵 $\Phi(k,k-1) = 1$

输入矩阵

输入向量

系统噪声的方差为且恒定， $\Gamma(k,k-1) = 1$

输出矩阵

观测噪声的方差为且恒定。

接下来我们用C代码来一步一步写出一维的卡尔曼滤波算法。首先声明，这里给出的算法仅仅是演示用，既不高效也不节省空间，仅仅是为了将算法步骤说清楚，不涉及优化的内容，若读者有兴趣可以自行进行算法优化。

先给出所需的数据结构：

typedef struct 
{
    float Q;
    float R;
    float P_K_1[1];
    float P_K[1];
    float K;
    float state_vector[1];
    float optimal_state_vector[1];
    float input_vector[1];
    float obsered_vector[1];
}kalman_filter_1d_t;

结构体中：

Q为系统噪声的方差，需根据实际系统参数确定

R为测量噪声的方差，需根据ADC相关参数确定

P_K_1[1]也就是方程里面的，即最优预测估计误差方差阵，这里为一个 $1\times 1$ 矩阵，也就是一个一维变量

P_K[1]也就是方程里面的，即最优滤波估计误差方差阵

K为最优滤波增益矩阵，这里也是一维的变量

state_vector为状态向量，同时存储一步最优预测值

optimal_state_vector为当前时刻最优滤波估计值

input_vector为系统输入向量

obsered_vector为系统观测向量

接下来是相关定义以及初始化，在此不再赘述，假定代码中的Q,R为已知的。

kalman_filter_1d_t filter = 
{
    .Q = Q,
    .R = R,
    .P_K_1[0] = {0.0f},
    .P_K[0] = {0.0f},
    .K = 0.0f,
    .state_vector[0] = {0.0f},
    .optimal_state_vector[0] = {0.0f},
    .input_vector[0] = {0.0f},
    .observed_vector[0] = {0.0f}
};

下面我们来实现算法：

1)根据最优预测估计方程以及存储在结构体中的上一时刻的最优滤波估计值optimal_state_vector计算当前时刻的一步最优预测并存储到state_vector中，由于 $\Phi(k,k-1) = 1$ 以及即：

filter.state_vector[0] = filter.optimal_state_vector[0] + filter.input_vector[0];

2)根据最优预测估计误差方差阵方程以及上一时刻的最优滤波误差方差阵P_K计算当前时刻的最优预测估计误差方差阵P_K_1，且 $\Phi(k,k-1) = 1$ 以及 $\Gamma(k,k-1) = 1$ ，则：

filter.P_K_1 = filter.P_K + filter.Q;

3)根据最优滤波增益矩阵方程以及在上一步中获得的最优预测估计误差方差阵P_K_1来计算当前时刻最优滤波增益矩阵K。本来方程中涉及到矩阵求逆运算(这里其实是一个很大的问题，但是不在本文的讨论的范围之内，后续有空可以细说一下)，但是这里仅仅是一个 $1\times 1$ 矩阵，因此求逆变得非常容易：

filter.K = filter.P_K_1 / (filter.P_K_1 + filter.R);

4)假设我们已经获取到当前时刻的观测值为adc_value，则根据最优滤波估计方程以及上一步得出的最优滤波增益矩阵K计算出当前时刻的最优滤波估计值optimal_state_vector：

filter.observed_vector[0] = adc_value;
filter.optimal_state_vector[0] = filter.state_vector[0] + \ 
filter.K * (filter.observed_vector[0] - filter.state_vector[0]);

5)最后更新当前时刻的最优滤波估计误差方差阵以便于下一次迭代，也就是：

filter.P_K = (1.0f - filter.K) * filter.P_K_1;

至此完成一次迭代，完整版代码如下：

float kalman_filter_1d_calc(float adc_value)
{
    filter.observed_vector[0] = adc_value;
    filter.state_vector[0] = filter.optimal_state_vector[0] + filter.input_vector[0];
    filter.P_K_1 = filter.P_K + filter.Q;
    filter.K = filter.P_K_1 / (filter.P_K_1 + filter.R);
    filter.optimal_state_vector[0] = filter.state_vector[0] + \ 
    filter.K * (filter.observed_vector[0] - filter.state_vector[0]);
    filter.P_K = (1.0f - filter.K) * filter.P_K_1;
    return filter.optimal_state_vector[0];
}

循环调用该函数并传入每次ADC的测量值即可不断迭代获得最优滤波估计。同时还可以输出P_K进行观察，若P_K很小接近于0，那滤波就是有效的。

2.在上一篇提到我接触卡尔曼滤波就是从调试惯性MEMS单元那儿来的，卡尔曼滤波在惯性MEMS数据融合方面也有很多应用。这里就拿笔者熟悉的MPU6050为例做介绍，其他惯性MEMS处理方法均类似。MPU6050是一颗6轴惯性单元，其中包含3轴陀螺仪跟3轴加速度计。

正如大家所熟知的，陀螺仪输出的是角速度值 $\omega(t)$ ，想要获取角度值必须对其进行积分，也就是：

$angle = \int \omega(t) dt$

对其离散化之后可写成：

$angle = \sum \omega(t) \Delta t$

其短时具有很高的精度，但是随着时间的推移，积分误差会逐渐增大，并且其同时存在漂移，虽然漂移会随时间变化，但是在短时间内我们可以认为其漂移近似不变。而加速度计直接输出三个维度的加速度值，在物体处于平衡状态时其合力为0，也就是加速度和为0，且重力加速度恒定为1g，此时若能获取到三个维度的加速度值，就能反推出物体的姿态角。(单纯依靠三轴加速度计不能获取到偏航角，但是这又是另一个话题了，在此不再展开细说。)但是一旦物体离开平衡状态，也就是物体开始做非匀速直线运动，那么其就有其他方向的加速度，则单纯依靠加速度计获得的姿态角精度将极大降低，但是其不像陀螺仪一样会存在积分误差。因此可以对陀螺仪跟加速度计的数据做融合，提高精度。

下面开始对系统建模，先仅研究某一方向的姿态角。对于陀螺仪获取角度值，我们有：

$Angle(k) = Angle(k-1) + [Gyro(k-1) - Bias(k-1)] * dt + W_{angle}$

式中：

为当前时刻计算出的角度值

为上一时刻计算出的角度值

为获取到的陀螺仪输出值

为上一时刻陀螺仪的漂移

$W_{angle}$ 为陀螺仪系统噪声

为积分时间间隔

前面提到虽然漂移会随时间变化，但是在短时间内我们可以认为其漂移近似不变，但是混杂着噪声，因此对于漂移，我们有：

$Bias(k) = Bias(k-1)+W_{bias}$

式中：

为当前时刻陀螺仪的漂移

为上一时刻陀螺仪的漂移

$W_{bias}$ 为漂移噪声

综合上述两个方程，我们可以选取姿态角跟漂移量作为系统的状态变量。系统的输入量为陀螺仪的输出值，因此将两方程合并并写成矩阵方程的形式有：

$\begin{bmatrix} Angle(k) \\ Bias(k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -dt \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Angle(k-1) \\ Bias(k-1) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} dt \\ 0 \end{bmatrix}[Gyro(k-1)] + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_{angle} \\ W_{bias} \end{bmatrix}$

由此我们得到系统的状态方程。

式中：

$\begin{bmatrix} Angle(k) \\ Bias(k) \end{bmatrix}$ 为系统的状态向量，也就是

$\begin{bmatrix} 1 & -dt \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}$ 为系统矩阵，也就是 $\Phi(k,k-1)$

$\begin{bmatrix} dt \\ 0 \end{bmatrix}$ 为系统的输入矩阵，也就是

为系统的输入向量，也就是

$\begin{bmatrix} W_{angle} \\ W_{bias} \end{bmatrix}$ 为陀螺仪噪声与漂移噪声矩阵，也就是

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}$ 为方程中的 $\Gamma(k,k-1)$

同时我们还可以从加速度计获取到姿态角度，因此我们可以将加速度计解算出的姿态角作为观测值，但是其同样存在噪声，并且不能获取到陀螺仪的漂移值，因此我们可以写出观测方程：

$[Angle_{acce}(k-1)]=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Angle(k-1) \\ Bias(k-1) \end{bmatrix} + V(k-1)$

式中：

$[Angle_{acce}(k-1)]$ 为系统的观测值，也就是

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$ 为系统的输出矩阵，也就是

为系统的观测噪声

假定我们已知陀螺仪噪声方差 $Q_{angle}$ ，漂移噪声方差 $Q_{bias}$ 以及加速度计的噪声方差 $R_{acce}$ ，并且由于陀螺仪的积分性质， $Q_{angle}$ 与 $Q_{bias}$ 均与时间相关，但是各噪声之间互不相关，且均服从均值为0的高斯分布，则陀螺仪噪声与漂移噪声的协方差矩阵为一个对角阵，且对角元素为各自的方差，也就是：

$Q(k-1)=\begin{bmatrix} Q_{angle}*dt & 0 \\ 0 & Q_{bias}*dt\\ \end{bmatrix}$

而加速度计的噪声方差阵为：

$R(k-1) = R_{acce}$

易知该系统满足卡尔曼滤波的基本假设条件，接下来我们来实现卡尔曼滤波器算法。

首先给出用到的数据结构：

typedef struct 
{
    float dt;
    float Q[2][2];
    float R;
    float P_K_1[2][2];
    float P_K[2][2];
    float K[2];
    float state_vector[2];
    float optimal_state_vector[2];
    float input_vector[1];
    float observed_vector[1];
}imu_kalman_filter_2d_t;

结构体中：

dt为陀螺仪的积分时间间隔

Q[2][2]为陀螺仪噪声以及漂移噪声的协方差矩阵，也就是基本方程里面的 $Q_{k-1}$

R为加速度计的噪声方差，也就是基本方程里面的 $R_{k-1}$

P_K_1[2][2]为最优预测估计误差方差阵，也就是基本方程里的

P_K[2][2]为最优滤波估计误差方差阵，也就是基本方程里面的

K[2]为最优滤波增益矩阵，也就是基本方程里面的

state_vector[2]存储一步最优预测估计值

optimal_state_vector[2]为当前时刻最优滤波估计值

input_vector[1]为系统的输入，也就是陀螺仪的输出值

observed_vector[1]为系统的观测值，也就是加速度计的输出值

接下来是相关定义以及初始化，在此不再赘述，假定代码中的Q0,Q1,R为已知的，CALC_PERIOD为计算周期。

void kalman_filter_init(imu_kalman_filter_2d_t * instance)
{
    instance->dt = CALC_PERIOD;

    instance->Q[0][0] = Q0;
    instance->Q[0][1] = 0.0f;
    instance->Q[1][0] = 0.0f;
    instance->Q[1][1] = Q1;

    instance->R = R;

    instance->input_vector[0] = 0.0f;
    instance->observed_vector[0] = 0.0f;

    instance->state_vector[0] = 0.0f;
    instance->state_vector[1] = 0.0f;

    instance->optimal_state_vector[0] = 0.0f;
    instance->optimal_state_vector[1] = 0.0f;

    instance->K[0] = 0.0f;
    instance->K[1] = 0.0f;

    instance->P_K[0][0] = 0.0f;
    instance->P_K[0][1] = 0.0f;
    instance->P_K[1][0] = 0.0f;
    instance->P_K[1][1] = 0.0f;

    instance->P_K_1[0][0] = 0.0f;
    instance->P_K_1[0][1] = 0.0f;
    instance->P_K_1[1][0] = 0.0f;
    instance->P_K_1[1][1] = 0.0f;

}

下面我们来实现算法：

1)根据最优预测估计方程计算一步最优估计值，也就是方程：

$\hat{X(k|k-1)} = \Phi(k,k-1)\hat{X(k-1|k-1)}+G(k,k-1)U(k-1)$

在我们的系统中也就是：

${\begin{bmatrix} state\_vector[0] \\ state\_vector[1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -dt \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} optimal\_state\_vector[0] \\ optimal\_state\_vector[1] \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} dt \\ 0 \end{bmatrix}[input\_vector[0]]}$

代码里我们可以写成：

instance->state_vector[0] = (instance->optimal_state_vector[0] - \ 
                            instance->optimal_state_vector[1] * instance->dt) + \
                            instance->input_vector[0] * instance->dt;
instance->state_vector[1] = instance->optimal_state_vector[1];

2)根据最优预测估计误差方差阵方程计算出，也就是方程：

$P(k|k-1)=\Phi(k,k-1)P(k-1|k-1)\Phi(k,k-1)^T + {\Gamma(k,k-1)Q_{k-1}\Gamma(k,k-1)^T}$

在我们系统中也就是：

${\begin{bmatrix}P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[0][1]\\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -dt \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P\_K[0][0] &P\_K[0][1] \\ P\_K[1][0] & P\_K[1][1]\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -dt & 1\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Q0*dt & 0 \\ 0 & Q1*dt\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}}$

将其展开并合并化简有：

${\begin{bmatrix}P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[0][1]\\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P\_K[0][0] &P\_K[0][1] \\ P\_K[1][0] & P\_K[1][1]\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} (Q0 - P\_K[0][1]-P\_K[1][0]+P\_K[1][1]*dt)*dt & -P\_K[1][1]*dt \\ -P\_K[1][1]*dt & Q1*dt\\ \end{bmatrix}}$

写成代码也就是：

instance->P_K_1[0][0] = instance->P_K[0][0] + instance->Q[0][0] * instance->dt - \ 
                        instance->P_K[0][1] * instance->dt - instance->P_K[1][0] * instance->dt + \ 
                        instance->P_K[1][1] * instance->dt * instance->dt;

instance->P_K_1[0][1] = instance->P_K[0][1] - instance->P_K[1][1] * instance->dt + \ 
                        instance->Q[0][1] * instance->dt;

instance->P_K_1[1][0] = instance->P_K[1][0] - instance->P_K[1][1] * instance->dt + \ 
                        instance->Q[1][0] * instance->dt;

instance->P_K_1[1][1] = instance->P_K[1][1] + instance->Q[1][1] * instance->dt;

注意上面代码段中Q[0][1]以及Q[1][0]均为0

3)根据最优滤波增益矩阵方程计算最优滤波增益矩阵，也就是方程：

$K(k) = P(k|k-1)H(k)^T[H(k)P(k|k-1)H(k)^T + R_{k}]^{-1}$

即：

${\begin{bmatrix}K[0] \\ K[1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0] &P\_K\_1[0][1] \\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1]\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}+ {[\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0] &P\_K\_1[0][1] \\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1]\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}} + R]^{-1}}$

拆开并合并得到：

${\begin{bmatrix}K[0] \\ K[1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0] \\ P\_K\_1[1][0] \end{bmatrix} + {[P\_K\_1[0][0]} + R]^{-1}}$

代码如下：

instance->K[0] = instance->P_K_1[0][0] / (instance->P_K_1[0][0] + instance->R);
instance->K[1] = instance->P_K_1[1][0] / (instance->P_K_1[0][0] + instance->R);

4)根据最优滤波估计方程计算最优滤波估计值，方程为：

$\hat{X(k|k)} = \hat{X(k|k-1)} + K(k)[Z(k)-H(k)\hat{X(k|k-1)}]$

即：

${\begin{bmatrix} optimal\_state\_vector[0] \\ optimal\_state\_vector[1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} state\_vector[0] \\ state\_vector[1] \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} K[0] \\ K[1] \end{bmatrix}[observed\_vector[0]-\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} state\_vector[0] \\ state\_vector[1] \end{bmatrix}]}$

也就是：

代码为：

instance->optimal_state_vector[0] = instance->state_vector[0] + \
                                    instance->K[0] * (instance->observed_vector[0] - \     
                                    instance->state_vector[0]);
instance->optimal_state_vector[1] = instance->state_vector[1] + \
                                    instance->K[1] * (instance->observed_vector[1] - \ 
                                    instance->state_vector[1]);

5)最后根据最优滤波估计误差方差阵方程更新最优滤波估计误差方差阵，也就是方程：

也就是：

$\begin{bmatrix} P\_K[0][0] &P\_K[0][1] \\ P\_K[1][0] & P\_K[1][1]\end{bmatrix} =[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} K[0] \\ K[1] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}] \begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[0][1] \\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1]\end{bmatrix}}$

化简后有：

$\begin{bmatrix} P\_K[0][0] &P\_K[0][1] \\ P\_K[1][0] & P\_K[1][1]\end{bmatrix} =[\begin{bmatrix} 1-K[0] & 0 \\ 0 - K[1] & 1\\ \end{bmatrix} ] \begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[0][1] \\ P\_K\_1[1][0] & P\_K\_1[1][1]\end{bmatrix}}$

$=\begin{bmatrix} P\_K\_1[0][0]-K[0]* P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[0][1]-K[0]* P\_K\_1[0][1] \\P\_K\_1[1][0] - K[1] * P\_K\_1[0][0] & P\_K\_1[1][1] - K[1] * P\_K\_1[0][1]\end{bmatrix}$

代码为：

instance->P_K[0][0] = instance->P_K_1[0][0] - instance->K[0] * instance->P_K_1[0][0];
instance->P_K[0][1] = instance->P_K_1[0][1] - instance->K[0] * instance->P_K_1[0][1];
instance->P_K[1][0] = instance->P_K_1[1][0] - instance->K[1] * instance->P_K_1[0][0];
instance->P_K[1][1] = instance->P_K_1[1][1] - instance->K[1] * instance->P_K_1[0][1];

至此完成一次迭代，完整版代码如下：

float imu_kalman_filter_2d_calc(imu_kalman_filter_2d_t * instance, float observed_value, float input_value)
{
    instance->observed_vector[0] = observed_value;
    instance->input_vector[0] = input_value;

    instance->state_vector[0] = (instance->optimal_state_vector[0] - instance->optimal_state_vector[1] * instance->dt) + \
                                instance->input_vector[0] * instance->dt;
    instance->state_vector[1] = instance->optimal_state_vector[1];

    instance->P_K_1[0][0] = instance->P_K[0][0] + instance->Q[0][0] * instance->dt - \ 
                            instance->P_K[0][1] * instance->dt - instance->P_K[1][0] * instance->dt + \ 
                            instance->P_K[1][1] * instance->dt * instance->dt;

    instance->P_K_1[0][1] = instance->P_K[0][1] - instance->P_K[1][1] * instance->dt + instance->Q[0][1] * instance->dt;

    instance->P_K_1[1][0] = instance->P_K[1][0] - instance->P_K[1][1] * instance->dt + instance->Q[1][0] * instance->dt;

    instance->P_K_1[1][1] = instance->P_K[1][1] + instance->Q[1][1] * instance->dt;

    instance->K[0] = instance->P_K_1[0][0] / (instance->P_K_1[0][0] + instance->R);
    instance->K[1] = instance->P_K_1[1][0] / (instance->P_K_1[0][0] + instance->R);

    instance->optimal_state_vector[0] = instance->state_vector[0] + \
                                        instance->K[0] * (instance->observed_vector[0] - instance->state_vector[0]);
    instance->optimal_state_vector[1] = instance->state_vector[1] + \
                                        instance->K[1] * (instance->observed_vector[1] - instance->state_vector[1]);

    instance->P_K[0][0] = instance->P_K_1[0][0] - instance->K[0] * instance->P_K_1[0][0];
    instance->P_K[0][1] = instance->P_K_1[0][1] - instance->K[0] * instance->P_K_1[0][1];
    instance->P_K[1][0] = instance->P_K_1[1][0] - instance->K[1] * instance->P_K_1[0][0];
    instance->P_K[1][1] = instance->P_K_1[1][1] - instance->K[1] * instance->P_K_1[0][1];
    return instance->optimal_state_vector[0];
}

循环调用该函数并传入每次陀螺仪的输出值即可不断迭代获得最优滤波估计。同时还可以输出P_K进行观察，若P_K主对角元素很小接近于0，那滤波就是有效的。

最后个人在ESP32的板子(今年回家没带其他板子，凑合着试了下)上面验证了一下算法，里面包含MPU6050的驱动跟卡尔曼滤波算法，最后效果还行。

代码链接在这：

https://download.csdn.net/download/u013910954/12136477

五、总结

卡尔曼滤波器是一种线性无偏递推滤波器，其算法简单，且存储数据少，实时性很高，因而应用非常广泛。这两篇文章仅仅是对卡尔曼最优预测跟最优滤波的一种简单的推导，其实还有很多种其他推导方法，有兴趣的读者可以查阅相关书籍。

最后贴出个人认为还不错的两个讲解卡尔曼滤波以及应用的链接：

1.https://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/#comment-1010

2.http://blog.tkjelectronics.dk/2012/09/a-practical-approach-to-kalman-filter-and-how-to-implement-it/

六、一点小扩展

之前有提到，在基本方程中的最优滤波增益矩阵中，若观测方程维数不为1，则存在矩阵求逆的运算，一般来讲普通矩阵求逆是一个很麻烦的事，但是对于上三角或者下三角矩阵求逆就比较简单，并且在滤波方程里面的需要求逆的矩阵是一个正定对称矩阵，由矩阵的三角分解的相关定理，对于满秩方阵可以做LU分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积，由此可以方便的计算出矩阵的逆，读者若有兴趣可以参考矩阵理论的相关章节。

还有一种方法是矩阵分析里面的Neumann定理，将矩阵求逆转换成矩阵级数求和的运算，但是要求矩阵的谱半径小于1且运算量较大，因此不再赘述，这里给出我们矩阵理论的相关章节的课件，有兴趣的读者可以查阅。

课件链接：

https://download.csdn.net/download/u013910954/12136595

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七.正则化愿风去了
吴恩达机器学习之正则化（Regularization）http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html从数学公式上理解L1和L2https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/81276818虽然在线性回归中加入基函数会使模型更加灵活，但是很容易引起数据的过拟合。例如将数据投影到30维的基函数上，模
腾讯发表多模态综述，一文详解多模态大模型存内计算开发者社区多模态大模型人工智能 chatgpt AIGC 量子计算 AI-native gpt agi
多模态大语言模型（MLLM）是近年来兴起的一个新的研究热点，它利用强大的大语言模型作为大脑来执行多模态任务。MLLM令人惊讶的新兴能力，如基于图像写故事和无OCR的数学推理，在传统方法中是罕见的，这表明了一条通往人工通用智能的潜在道路。在本文中，追踪多模态大模型最新热点，讨论多模态关键技术以及现有在情绪识别上的应用。腾讯AILab发表了一篇关于多模态大模型的最新综述《MM-LLMs:RecentA
创设问题情境的策略平常心666
创设情境要有情趣案例：可以圈多少地如何让孩子喜欢数学，是数学教师必须思考和解决的问题。有趣的情境会吸引学生，使学生主动走近数学学习。因此，教师要结合学生的年龄特点和实际生活，创造出富有数学情趣的情境。创设情境要有生活案例：克与千克的生活情境正如著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”数学与现实生活有着密切的联系。创设情境要有问题案例：喝出
丁俊贵之《“女人和男人”那些事》兴时态_198812
【“女人和男人”那些事】生活中，我们经常用性别来给很多现象和问题贴标签。比如：女性发脾气是常见的事情，所以不要跟她们讲道理，要让着她们；女性考虑问题总是比较感性，不如男性那么理性、严谨、全面；女生的数学成绩普遍比较差，因此选文科的女生更多；……许许多多像这样的认知，已经成为我们根深蒂固的信念。我们在生活中哪怕不会直接这样讲，但多多少少都会有类似的想法和感受，并且用这些信念去理解和认知他人。一、人世
MATLAB语言基础教程、小项目1：简单的计算器、小项目2：有页面的计算器、使用App Designer创建GUI计算器 azuredragonz 学习教程 matlab 开发语言
MATLABMATLAB语言基础教程1.MATLAB简介2.基本语法变量与赋值向量与矩阵矩阵运算数学函数控制流3.函数4.绘图案例：简单方程求解小项目1：简单的科学计算器功能代码项目说明小项目2：有页面的计算器使用AppDesigner创建GUI计算器主要步骤：完整代码（使用MATLAB编写）说明：如何运行：小项目总结MATLAB语言基础教程1.MATLAB简介MATLAB（矩阵实验室）是一种用于
搞笑的数学老师鹿悦
今天,陈老师来到了我们班,我们都一脸闷闷不乐的写着家庭作业。陈老师一提到回答问题,我们的脸都快要掉到抽屉里了。"小牛，你来回答一下这道题。"突然，我们班都安静的鸦雀无声，紧接着一阵哄堂大笑的声音在班里回荡着。我们都说陈老师很有意思：史卓听就叫小史，曲子昱就叫小曲，朱宇豪就叫小朱，于恩智就叫小于。至于我呀，陈老师经常叫我小佑或者小张2号。（因为班里有许多姓张的同学）。我们都非常喜欢这个风趣幽默的陈老
希希~嗯嗯~ 猪猪女孩小哒哒
电话铺垫无聊天当天来上课的情况：外婆陪三岁的希希，妈妈陪小的大的上课规则感建立的还算不错，二的满场跑完全坐不住妈妈想找外教早教机构，因为大的在托班，里面会有数学、外教等分支教学课程。老二妈妈没怎么带教二宝。妈妈想给她找语言妈妈问有没有英文我的回答是英文课会有中教，应该回答中外教一起妈妈夸赞宝宝10个月会走了，今天见到的情形是宝宝走几步路就会跌倒，没有联系过爬，就开始走，长大以后模仿别人动作上面做的
如何做好人生的选择题？百科全书式天才——赫伯特·西蒙给你答案伽马有话说
赫伯特·西蒙是谁？想必知道的人非常少。但当看到他的履历后，相信没有人再怀疑他是个“天才”。西蒙出生于1916年6月15日，是个美国人，他的名字全称为赫伯特·亚历山大·西蒙，在2001年2月9日与世长辞，在这84年的岁月中，西蒙以27岁时取得的政治学博士学位为开端，先后步入了政治学、管理学、认知心理学、信息科学、人工智能、科学哲学、应用数学、统计学、运筹学、控制论、数理经济学、公共管理等领域，在这些
5/3亲子践行豆果妈
90天打卡累计天数：53/90#宣言（做好当知当觉的父母，处理情绪是第一步）#孩子第一个30天目标：每晚21:45前睡觉家长第一个30天目标：每晚23:00前睡觉加油小宝（黄唯嘉+10岁）践行打卡53/901.早睡早起：22：30-8：302.先吃青蛙：13.️今日闪光点：（1）早晨和爸爸一起去晨跑（2）上午带弟弟，陪弟弟玩了一个上午（3）下午完成了部分作业，还剩数学卷和采访小报#父母教练检视#孩
科普阅读两不误，这才是儿童科普阅读的正确打开方式麦麦安
"孩子数学不好，根源在于语文没学好"，这一观点已经被越来越多的老师和家长接受。虽然阅读理解力看上去只和语文有关，事实上，它是所有学科的根基。比如一道数学应用题，只有正确地看懂了各种条件，才能把答案快速地解出来。在美国的小学教育体系中，很重要的一项任务是帮助儿童进行大量阅读，从而培养出理解及思考的能力。这种说法虽然正确，但很多孩子也会存在这样一个问题：绘本故事类的阅读量不小，看小说听故事几乎可以独立
洛谷P1719 最大加权矩形 0hang 算法 c++开发语言
洛谷P1719最大加权矩形题目描述为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。校长先给他们一个n\timesnn×n矩阵。要求矩阵中最大加
Tor Browser配置方法淡水猫. 网络安全服务器
密码学中有两种常见的加密方式：对称加密：加密和解密使用同一个秘钥，如AES、DES等算法。非对称加密：加密和解密使用不相同的密钥，这两个秘钥分别称为公钥（publickey）和私钥（privatekey）——也就是说私钥可以解开公钥加密的数据，反之亦然（很神奇的数学原理）。Tor是一个三重代理（也就是说Tor每发出一个请求会先经过Tor网络的3个节点），其网络中有两种主要服务器角色：中继服务器：负
晚托第34天唐锐_32c4
2019-04-06本来担心优的抄写的作业不能及时完成，今天一来看到她写的作业后我放心多了。英语抄写的是满满的6面，说明你在老家期间没有耽误学习，自觉性有了提高。以后在学校期间不能吃外面小摊子的东西，防止有害细菌进入体内。杨今天表现的一般，数学计算能手只刷了3面，就开始骄傲，当我告诉你别人已经刷上几十面时你目瞪口呆。所以，以后一定要谦虚谨慎，人外有人，天外有天，始终有强悍的孩子远远超过你，你要做的
第一次参加女儿的家长会章章2021
说来惭愧，从幼儿园到现在，第一次去参加女儿的家长会。老师们说了一下每个孩子在学校的表现。女儿被两位老师表扬语文老师:作业完成很好，错了及时订正，上课积极发言。数学老师:非常爱思考，责任感很强，爱卫生。回来把老师的表扬一五一十的传达给女儿，甚至有些地方还添油加醋了，哈哈。女儿上小学以来，基本没有操过什么心，作业，阅读，基本都能独立完成。平时聊天会强调班集体，也会多说老师的好话。女儿酷爱漫画书和绘本，
架构师备考的一些思考（四） kiba518
前言对于数学，我们之前学的是对的，但不是真的，所以我们没有数学思维。对于计算机，我们学校教的是对的，但不是真的，所以仅仅从学校学习知识的应届毕业生，不论985,211，本科，专科都一样，都是一张白纸，啥也不会。案例分析案例分析是5选3，第一题必答。问题一的类型架构风格对比问题二的类型质量属性填写问题三的类型ER图分析问题类型四场景分析，此类型题比较多。案例分析主要是结合我们之前介绍的内容和自身的经
jsonp 常用util方法 hw1287789687 jsonp jsonp常用方法 jsonp callback
jsonp 常用java方法 (1)以jsonp的形式返回:函数名(json字符串) /*** * 用于jsonp调用 * @param map : 用于构造json数据 * @param callback : 回调的javascript方法名 * @param filters : <code>SimpleBeanPropertyFilter theFilt
多线程场景 alafqq 多线程
0 能不能简单描述一下你在java web开发中需要用到多线程编程的场景？0 对多线程有些了解，但是不太清楚具体的应用场景，能简单说一下你遇到的多线程编程的场景吗？ Java多线程 2012年11月23日 15:41 Young9007 Young9007 4 0 0 4 Comment添加评论关注(2) 3个答案按时间排序按投票排序 0 0 最典型的如： 1、
Maven学习——修改Maven的本地仓库路径 Kai_Ge maven
安装Maven后我们会在用户目录下发现.m2 文件夹。默认情况下，该文件夹下放置了Maven本地仓库.m2/repository。所有的Maven构件(artifact)都被存储到该仓库中，以方便重用。但是windows用户的操作系统都安装在C盘，把Maven仓库放到C盘是很危险的，为此我们需要修改Maven的本地仓库路径。
placeholder的浏览器兼容 120153216 placeholder
【前言】自从html5引入placeholder后，问题就来了，不支持html5的浏览器也先有这样的效果，各种兼容，之前考虑，今天测试人员逮住不放，想了个解决办法，看样子还行，记录一下。【原理】不使用placeholder，而是模拟placeholder的效果，大概就是用focus和focusout效果。【代码】 <scrip
debian_用iso文件创建本地apt源 2002wmj Debian
1.将N个debian-506-amd64-DVD-N.iso存放于本地或其他媒介内，本例是放在本机/iso/目录下 2.创建N个挂载点目录如下： debian:~#mkdir –r /media/dvd1 debian:~#mkdir –r /media/dvd2 debian:~#mkdir –r /media/dvd3 …. debian:~#mkdir –r /media
SQLSERVER耗时最长的SQL 357029540 SQL Server
对于DBA来说，经常要知道存储过程的某些信息： 1. 执行了多少次 2. 执行的执行计划如何 3. 执行的平均读写如何 4. 执行平均需要多少时间列名 &
com/genuitec/eclipse/j2eedt/core/J2EEProjectUtil 7454103 eclipse
今天eclipse突然报了com/genuitec/eclipse/j2eedt/core/J2EEProjectUtil 错误，并且工程文件打不开了，在网上找了一下资料，然后按照方法操作了一遍，好了，解决方法如下：错误提示信息： An error has occurred.See error log for more details. Reason: com/genuitec/
用正则删除文本中的html标签 adminjun java html 正则表达式去掉html标签
使用文本编辑器录入文章存入数据中的文本是HTML标签格式，由于业务需要对HTML标签进行去除只保留纯净的文本内容，于是乎Java实现自动过滤。如下： public static String Html2Text(String inputString) { String htmlStr = inputString; // 含html标签的字符串 String textSt
嵌入式系统设计中常用总线和接口 aijuans linux 基础
嵌入式系统设计中常用总线和接口任何一个微处理器都要与一定数量的部件和外围设备连接，但如果将各部件和每一种外围设备都分别用一组线路与CPU直接连接，那么连线
Java函数调用方式——按值传递 ayaoxinchao java 按值传递对象基础数据类型
Java使用按值传递的函数调用方式，这往往使我感到迷惑。因为在基础数据类型和对象的传递上，我就会纠结于到底是按值传递，还是按引用传递。其实经过学习，Java在任何地方，都一直发挥着按值传递的本色。首先，让我们看一看基础数据类型是如何按值传递的。 public static void main(String[] args) { int a = 2;
ios音量线性下降 bewithme ios音量
直接上代码吧 //second 几秒内下降为0 - (void)reduceVolume:(int)second { KGVoicePlayer *player = [KGVoicePlayer defaultPlayer]; if (!_flag) { _tempVolume = player.volume;
与其怨它不如爱它 bijian1013 选择理想职业规划
抱怨工作是年轻人的常态，但爱工作才是积极的心态，与其怨它不如爱它。一般来说，在公司干了一两年后，不少年轻人容易产生怨言，除了具体的埋怨公司“扭门”，埋怨上司无能以外，也有许多人是因为根本不爱自已的那份工作，工作完全成了谋生的手段，跟自已的性格、专业、爱好都相差甚远。
一边时间不够用一边浪费时间 bingyingao 工作时间浪费
一方面感觉时间严重不够用，另一方面又在不停的浪费时间。每一个周末，晚上熬夜看电影到凌晨一点，早上起不来一直睡到10点钟，10点钟起床，吃饭后玩手机到下午一点。精神还是很差，下午像一直野鬼在城市里晃荡。为何不尝试晚上10点钟就睡，早上7点就起，时间完全是一样的，把看电影的时间换到早上，精神好，气色好，一天好状态。控制让自己周末早睡早起，你就成功了一半。有多少个工作
【Scala八】Scala核心二：隐式转换 bit1129 scala
Implicits work like this: if you call a method on a Scala object, and the Scala compiler does not see a definition for that method in the class definition for that object, the compiler will try to con
sudoku slover in Haskell (2) bookjovi haskell sudoku
继续精简haskell版的sudoku程序，稍微改了一下，这次用了8行，同时性能也提高了很多，对每个空格的所有解不是通过尝试算出来的，而是直接得出。 board = [0,3,4,1,7,0,5,0,0, 0,6,0,0,0,8,3,0,1, 7,0,0,3,0,0,0,0,6, 5,0,0,6,4,0,8,0,7,
Java-Collections Framework学习与总结-HashSet和LinkedHashSet BrokenDreams linkedhashset
本篇总结一下两个常用的集合类HashSet和LinkedHashSet。它们都实现了相同接口java.util.Set。Set表示一种元素无序且不可重复的集合；之前总结过的java.util.List表示一种元素可重复且有序
读《研磨设计模式》-代码笔记-备忘录模式-Memento bylijinnan java 设计模式
声明：本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ import java.util.ArrayList; import java.util.List; /* * 备忘录模式的功能是，在不破坏封装性的前提下，捕获一个对象的内部状态，并在对象之外保存这个状态，为以后的状态恢复作“备忘”
《RAW格式照片处理专业技法》笔记 cherishLC PS
注意，这不是教程！仅记录楼主之前不太了解的一、色彩（空间）管理作者建议采用ProRGB（色域最广），但camera raw中设为ProRGB，而PS中则在ProRGB的基础上，将gamma值设为了1.8（更符合人眼）注意：bridge、camera raw怎么设置显示、输出的颜色都是正确的（会读取文件内的颜色配置文件），但用PS输出jpg文件时，必须先用Edit->conv
使用 Git 下载 Spring 源码编译 for Eclipse crabdave eclipse
使用 Git 下载 Spring 源码编译 for Eclipse 1、安装gradle，下载 http://www.gradle.org/downloads 配置环境变量GRADLE_HOME，配置PATH %GRADLE_HOME%/bin，cmd，gradle -v 2、spring4 用jdk8 下载 https://jdk8.java.
mysql连接拒绝问题 daizj mysql 登录权限
mysql中在其它机器连接mysql服务器时报错问题汇总一、[running][email protected]:~$mysql -uroot -h 192.168.9.108 -p //带-p参数，在下一步进行密码输入 Enter password: //无字符串输入 ERROR 1045 (28000): Access
Google Chrome 为何打压 H.264 dsjt apple html5 chrome Google
Google 今天在 Chromium 官方博客宣布由于 H.264 编解码器并非开放标准，Chrome 将在几个月后正式停止对 H.264 视频解码的支持，全面采用开放的 WebM 和 Theora 格式。 Google 在博客上表示，自从 WebM 视频编解码器推出以后，在性能、厂商支持以及独立性方面已经取得了很大的进步，为了与 Chromium 现有支持的編解码器保持一致，Chrome
yii 获取控制器名和方法名 dcj3sjt126com yii framework
1. 获取控制器名在控制器中获取控制器名: $name = $this->getId(); 在视图中获取控制器名: $name = Yii::app()->controller->id; 2. 获取动作名在控制器beforeAction()回调函数中获取动作名: $name =
Android知识总结（二） come_for_dream android
明天要考试了，速速总结如下 1、Activity的启动模式 standard：每次调用Activity的时候都创建一个（可以有多个相同的实例，也允许多个相同Activity叠加。） singleTop：可以有多个实例，但是不允许多个相同Activity叠加。即，如果Ac
高洛峰收徒第二期：寻找未来的“技术大牛” ——折腾一年，奖励20万元 gcq511120594 工作项目管理
高洛峰，兄弟连IT教育合伙人、猿代码创始人、PHP培训第一人、《细说PHP》作者、软件开发工程师、《IT峰播》主创人、PHP讲师的鼻祖！首期现在的进程刚刚过半，徒弟们真的很棒，人品都没的说，团结互助，学习刻苦，工作认真积极，灵活上进。我几乎会把他们全部留下来，现在已有一多半安排了实际的工作，并取得了很好的成绩。等他们出徒之日，凭他们的能力一定能够拿到高薪，而且我还承诺过一个徒弟，当他拿到大学毕
linux expect heipark expect
1. 创建、编辑文件go.sh #!/usr/bin/expect spawn sudo su admin expect "*password*" { send "13456\r\n" } interact 2. 设置权限 chmod u+x go.sh 3.
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目录 Spring4.1新特性——综述 Spring4.1新特性——Spring核心部分及其他 Spring4.1新特性——Spring缓存框架增强 Spring4.1新特性——异步调用和事件机制的异常处理 Spring4.1新特性——数据库集成测试脚本初始化 Spring4.1新特性——Spring MVC增强 Spring4.1新特性——页面自动化测试框架Spring MVC T
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1.首先需要在windows字体目录下或者其它地方找到simsun.ttf 这个字体文件。 2.在ubuntu 下可以执行下面操作安装该字体： sudo mkdir /usr/share/fonts/truetype/simsun sudo cp simsun.ttf /usr/share/fonts/truetype/simsun fc-cache -f -v
改良程序的11技巧 pda158 技巧
有很多理由都能说明为什么我们应该写出清晰、可读性好的程序。最重要的一点，程序你只写一次，但以后会无数次的阅读。当你第二天回头来看你的代码时，你就要开始阅读它了。当你把代码拿给其他人看时，他必须阅读你的代码。因此，在编写时多花一点时间，你会在阅读它时节省大量的时间。让我们看一些基本的编程技巧：尽量保持方法简短永远永远不要把同一个变量用于多个不同的
300个涵盖IT各方面的免费资源（下）——工作与学习篇 shoothao 创业免费资源学习课程远程工作
工作与生产效率: A. 背景声音 Noisli:背景噪音与颜色生成器。 Noizio:环境声均衡器。 Defonic:世界上任何的声响都可混合成美丽的旋律。 Designers.mx:设计者为设计者所准备的播放列表。 Coffitivity:这里的声音就像咖啡馆里放的一样。 B. 避免注意力分散 Self Co
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深入浅出RPC-浅出篇深入浅出RPC-深入篇 RPC Remote Procedure Call Protocol 远程过程调用协议它是一种通过网络从远程计算机程序上请求服务，而不需要了解底层网络技术的协议。RPC协议假定某些传输协议的存在，如TCP或UDP，为通信程序之间携带信息数据。在OSI网络通信模型中，RPC跨越了传输层和应用层。RPC使得开发