burnside引理

前言

今天大概学习了一下burnside引理，下面来小结一下。

参考资料

南京外国语学校 陈瑜希 的集训队论文 polya计数法的应用

基本概念

（由于作者懒，直接截图）

置换群

顾名思义，就是一个元素都是置换的群。对于置换群，它的二元运算就是置换之间的连接，比如说

(13213244)∗(14233241)=(12243341) ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) ∗ ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ) = ( 1 2 3 4 2 4 3 1 )

含义就是先经过第一个置换，在经过第二个置换，等价于经过第三个置换。

burnside引理

|G| | G | 表示置换群的大小。
看不懂没关系，我们先看一道例题。

例题

SGU294 He’s Circles

题意：有一个长度为 N N 的环，上面写着’X’和’E’，问本质不同的环有多少种。 (N<=200000) ( N <= 200000 ) 。
分析：这就是一道运用burnside引理的裸题。在本题中，共有 N N 种置换，分别表示环转 1 1 个位置、 2 2 个位置…… N N 个位置，那么现在对于每种置换，我们需要求出有多少种情况经过这种置换后依然保持不变。那么如何求解呢？假设 N=8 N = 8 ，转了 2 2 个位置，那么每个位置的变化情况是： 1−>3−>5−>7−>1,2−>4−>6−>8−>2 1 − > 3 − > 5 − > 7 − > 1 , 2 − > 4 − > 6 − > 8 − > 2 ， x−>y x − > y 表示原来 x x 位置上的到了 y y 位置，我把这样的一个东西叫做循环节。因为我们求的是不变的情况，所以同一个循环节中的位置上的字母应该是一样的，那么我们只需要知道循环节的个数 K K ，就可以知道对于这种置换不变的方案数为 2K 2 K ，有一个比较显然的结论，当转了 i i 个位置时循环节的个数即为 gcd(i,N) g c d ( i , N ) ，所以，本题的答案即为 ∑ni=12gcd(i,N)N ∑ i = 1 n 2 g c d ( i , N ) N 。
先写这么多。完结撒花！