hdu6706,2019中国大学生程序设计竞赛（CCPC） - 网络选拔赛 huntian oy

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题解

推一推式子，发现$(i^a-j^a,i^b-j^b)=(i^b-j^b,i^{a-b}-j^{a-b})$

这都证出来了，那不就结束了吗？

显然$(i^a-j^a,i^b-j^b)=i^{(a,b)}-j^{(a,b)}$

题目在很不起眼的地方写了$a$和$b$互质，所以$(a,b)=1$

所以这题就是求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i(i-j)[(i,j)=1]$$

推一推就可以得到
$$\frac{1}{2}\sum _{i=2}^{n}i\phi (i)$$

杜教筛裸题

代码

#include 
#define maxn 1000010
#define linf (1ll<<60)
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007ll
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(_,__) for(_=1;_<=(__);_++)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
struct EasyMath
{
    ll prime[maxn], phi[maxn];
    bool mark[maxn];
    ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(1ll);
        for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
        return ans;
    }
    void get_prime(ll N)
    {
        ll i, j;
        for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
        *prime=0;
        phi[1]=1;
        for(i=2;i<=N;i++)
        {
            if(!mark[i])prime[++*prime]=i, phi[i]=i-1;
            for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
            {
                mark[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}em;
ll f[1500], iphi[maxn], N, _6;
ll getf(ll x){return x<maxn?iphi[x]:f[N/x];}
ll S1(ll n)
{
    return (n*(n+1)>>1)%mod;
}
void calc(ll n)
{
    if(n<maxn or f[N/n])return;
    ll &s=f[N/n], k, last;
    s=n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*_6%mod;
    for(k=2;k<=n;k=last+1)
    {
        last=n/(n/k);
        calc(n/k);
        (s-=getf(n/k)*(S1(last)-S1(k-1)))%=mod;
    }
}
int main()
{
    ll i, T, a, b;
    _6=em.fastpow(6,mod-2,mod);
    cin>>T;
    em.get_prime(maxn-1);
    for(i=1;i<maxn;i++)iphi[i]=em.phi[i]*i%mod;
    for(i=1;i<maxn;i++)(iphi[i]+=iphi[i-1])%=mod;
    while(T--)
    {
        cin>>N>>a>>b;
        cl(f);
        calc(N);
        ll ans=(getf(N)-1)*em.fastpow(2,mod-2,mod)%mod;
        cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}