[数论] Codeforces 819D R #421 D.Mister B and Astronomers & 516E R #292 E. Drazil and His Happy Friends

两道类似的题

819D

考虑一个人应该能够观察的位置 ti,(ti+S)modT,(ti+2S)modT
这个应该是形成 gcd(S,T) 个环,每个环是长度 Tg
然后把同一个环的一起处理,把点放到环上,那么沿环的方向到下一个点为止应该都是归到这个点答案里面的

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair abcd;

#define read(x) scanf("%I64d",&(x))

inline abcd EXGCD(ll a,ll b){
  if (!b) return abcd(1,0);
  abcd t=EXGCD(b,a%b);
  return abcd(t.second,t.first-a/b*t.second);
}
inline ll Calc(ll a,ll b,ll p){
  abcd t=EXGCD(a,p); ll d=t.first*a+t.second*p;
  return ((t.first%p+p)*(b/d))%p;
}

const int N=200005;

ll n,S,T,g,C;
ll a[N],_a[N];
int idx[N];
abcd t[N]; int tot;
ll ans[N];
set Set;

inline bool cmp(int x,int y){
  return a[x]%g==a[y]%g?a[x]y]:a[x]%gy]%g;
}

int main(){
  freopen("t.in","r",stdin);
  freopen("t.out","w",stdout);
  read(T); read(n);
  for (int i=1;i<=n;i++) read(_a[i]),S+=_a[i];
  for (int i=1;i1]:0)+_a[i+1],idx[i]=i;
  g=__gcd(S,T); C=T/g;
  sort(idx,idx+n,cmp);
  for (int i=0,j;i1){
    j=i; while (j+11]]%g==a[idx[i]]%g) j++;
    tot=0;
    for (int k=i;k<=j;k++){
      int x=idx[k]; if (Set.count(a[x]%T)) continue; Set.insert(a[x]%T);
      t[++tot].first=Calc(S%T,(a[x]+T-a[x]%g)%T,T)%C;
      t[tot].second=x;
    }
    if (tot==1)
      ans[t[1].second]=C;
    else{
      sort(t+1,t+tot+1);
      for (int k=1;k1].first+C-t[k].first)%C+C)%C;
      ans[t[tot].second]=((t[1].first+C-t[tot].first)%C+C)%C;
    }
  }
  for (int i=0;iprintf("%I64d%c",ans[i],i==n-1?'\n':' ');
  return 0;
}

516E

考虑如果一边某个人在时刻 t 被标记,那么至少 n 时刻后 (t+n)modm 号人也必然被标记,也就是一个环上求最早被访问到的距离,还是放到环上,到下一个点位置应该都是以这个点作为最优的
最后两边被访问到最晚的时间就是答案

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair abcd; 

#define read(x) scanf("%d",&(x))

inline abcd EXGCD(ll a,ll b){
  if (!b) return abcd(1,0);
  abcd t=EXGCD(b,a%b);
  return abcd(t.second,t.first-a/b*t.second);
}
inline ll Calc(ll a,ll b,ll p){
  abcd t=EXGCD(a,p); ll d=t.first*a+t.second*p;
  return ((t.first%p+p)*(b/d))%p;
}

const int N=200005;

int S,T,g;
int a[N],b[N];
ll ans;
abcd t[N]; int _t;
set<int> Set;

inline bool cmp(abcd x,abcd y){
  return x.first%g==y.first%g?(x.first==y.first?x.second<y.second:x.first<y.first):x.first%g<y.first%g;
}

abcd l[N]; int tot;

inline void Solve(int S,int T,int *a,int *b){
  _t=0; ll C=S/g; Set.clear();
  for (int i=1;i<=*a;i++) t[++_t]=abcd(a[i],a[i]),Set.insert(a[i]);
  for (int i=1;i<=*b;i++) t[++_t]=abcd(b[i]%S,b[i]);
  sort(t+1,t+_t+1,cmp);
  int pnt=0;
  for (int i=1;i<=_t;i++)
    if (i==1 || t[i].first!=t[i-1].first)
      t[++pnt]=t[i];
  _t=pnt;
  int last=-1;
  for (int i=1,j;i<=_t;i=j+1){
    if (t[i].first%g!=last+1){
      printf("-1\n"),exit(0);
    }
    last=t[i].first%g;
    j=i; while (j+1<=_t && t[i].first%g==t[j+1].first%g) j++;
    for (int k=i;k<=j;k++)
      t[k].first=Calc(T%S,(t[k].first+S-t[k].first%g)%S,S)%C;
    sort(t+i,t+j+1);
    if (i==j){
      if (S/g==1 && Set.count((last+t[i].first*T)%S))
    ans=max(ans,0LL);
      else
    ans=max(ans,t[i].second+(ll)(S/g-1)*T);
    }else{
      for (int k=i;k<=j;k++){
    if ((C+t[k==j?i:k+1].first-1-t[k].first)%C==0 && Set.count(last+t[i].first*T))
      ans=max(ans,0LL);
    else
      ans=max(ans,(ll)(C+t[k==j?i:k+1].first-1-t[k].first)%C*T+t[k].second);
      }
    }
  }
  if (last!=g-1){
    printf("-1\n"),exit(0);
  }
}

int main(){
  freopen("t.in","r",stdin);
  freopen("t.out","w",stdout);
  read(S); read(T); g=__gcd(S,T);
  read(*a); for (int i=1;i<=*a;i++) read(a[i]);
  read(*b); for (int i=1;i<=*b;i++) read(b[i]);
  Solve(S,T,a,b);
  Solve(T,S,b,a);
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}

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