C. Count Triangles(组合数学)

C. Count Triangles(组合数学)

传送门

思路：考虑所有的$x+y$组成的可行解。

显然$x,y,z$组成三角形$\to x+y>z$, 因为$z_{min}=c$，所以$(x+y{)}_{min}>c$.

又因为$x_{min}=a,y_{min}=b$.所以$x+y$具有可行解的最小值为$max(c+1,a+b)$.

最大值即$b+c$.

所以$x+y\in [max(c+1,a+b),b+c]$

接下来考虑每种$x+y$对答案的贡献,首先考虑对于当前$i=x+y$,$z$的取值。

显然$z$只能取$c,c+1\dots i-2,i-1$.又因为$c_{max}=d$.所以

$z$可选的个数为$cn{t}_z=min(d,i-1)-c+1=min(d+1,i)-c$.

接下来考虑$x+y$可选的个数.

$$\begin{gathered} y:[b,\dots ,c] \\ x:[a,\dots ,b] \\ 对每个y，x的对应值为[i-c,\dots ,i-b]. \\ 因为i\ge a+b,i\le b+c\Rightarrow i-b\ge a,i-c\le c \\ 所以y的取值的范围为：[max[i-c,a],min[i-b,b]] \\ 即x+y可选的个数为:cn{t}_{x+y}=min(i-b,b)-max(i-c,a)+1个。 \end{gathered}$$
根据乘法原理可得当前$x+y$的贡献为：
$cn{t}_{x+y}\times cn{t}_z$
综上可以通过遍历$x+y$得到答案。

时间复杂度:$O(max(b,c-a+1))$

AC代码：

#include
#include
typedef long long ll; 
using namespace std;
signed main(){
	ll a,b,c,d;
	cin>>a>>b>>c>>d;
	ll ans=0;
	for(ll i=max(c+1,a+b);i<=b+c;++i)
		ans+=(min(d+1,i)-c)*(min(i-b,b)-max(i-c,a)+1);
	cout<<ans<<endl;
}