目录
1 向量组的线性相关性
2 线性方程组
3 相似矩阵及二次型
3.1 使用 sym 函数直接创建符号矩阵
3.2 将数值矩阵转化为符号矩阵
3.3 符号矩阵的索引和修改
求列向量组 A 的一个最大线性无关组可用命令 rref(A)将 A 化成阶梯形的行最简形 式,其中单位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量,其它列向量的坐标即为 其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。
例 1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组。
解 编写 M 文件 ex1.m 如下:
format rat
a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];
b=rref(a)
解 编写 M 文件 ex2.m 如下:
format rat
a=[2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2];b=[1,4;0,3;-4,2];
c=rref([a,b])
Matlab 中解线性方程组可以使用“\”。虽然表面上只是一个简简单单的符号,而它 的内部却包含许许多多的自适应算法,如对超定方程用最小二乘法,对欠定方程它将给出范数最小的一个解,解三对角阵方程组时用追赶法等。 另外欠定方程组可以使用求矩阵 A 的阶梯形行最简形式命令 rref(A),求出所有的基础解系。
解 编写 M 文件 ex3.m 如下:
format rat
a=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6];
b=[8;9;-5;0];
solution=a\b
求得 solution=[3 -4 -1 1]'。
例 4 求超定方程组
解 编写 M 文件 ex4.m 如下:
a=[2,4;3,-5;1,2;2,1];
b=[11;3;6;7];
solution=a\b
求得 solution=[ 3.0403 1.2418]'。
例 5 求解方程组
解 编写 M 文件 ex5.m 如下:
format rat
a=[1,-1,-1,1,0;1,-1,1,-3,1;1,-1,-2,3,-1/2];
b=rref(a)
有时我们需要精确的特征值和特征向量,就须利用 Matlab 的符号运算功能。 在 Matlab 中创建符号矩阵和创建数值矩阵的形式很相似,只不过要用到符号定义 函数 sym。下面介绍使用此函数创建符号函数的几种形式。
此方法和直接创建数值矩阵的方法几乎完全相同。矩阵元素可以是符号表达式,各 符号表达式的长度可以不同,矩阵元素之间可用空格或逗号分隔。 例如:
x=sym('[a+sin(d),b;1/c,d]');
y=det(x)
求得 y=(d*c*a+d*c*sin(d)-b)/c
在 Matlab 中,数值矩阵不能直接参与符号运算,必须先转化为符号矩阵。 例如:
a=[2/3,sqrt(2);3,1]
a= 0.6667 1.4142
3.0000 1.0000
b=sym(a)
b=[ 2/3, sqrt(2)]
[ 3, 1]
Matlab 的符号矩阵索引和修改同数值矩阵的索引和修改完全相同。 例如:对上例中的矩阵 b 进行修改
b(2,2)='log(9)'
3.4 举例
A=[0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0];
[P,D]=eig(A)
上面求得的正交矩阵 P 是数值解,下面我们求正交矩阵的精确解。
a=sym('[0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0]');
[v,d]=eig(a)
即求得矩阵 A的特征值为 1、1、1、3,对应的特征向量分别是矩阵 v 的第 1、2、 3、4 列。再把对应于特征值 1 的 3 个特征向量正交化、单位化,我们就容易求出正交 矩阵P 。