矩阵乘法和矩阵的逆的意义

注：目前开通个人网站朝思录，之后的博文将在上面更新，CSDN博客会滞后一点

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矩阵乘法的意义

考虑最基本的矩阵乘法公式：

b=Ax(1)

将 A 按列分块为 A={α1,α2,...,αn} ，并将 x 按行分块为 x={x1,x2,...,xn}T ，则 (1) 式可表示为：

b=(α1α2...αn)⎛⎝⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟=x1α1+x2α2+...+xnαn(2)

由 (2) 式可以看出， b 为列向量 A={α1,α2,...,αn} 的线性组合。若将 {α1,α2,...,αn} 视为空间中的一组基，则 b={b1,b2,...,bn}T 表示向量 x={x1,x2,...,xn}T （该坐标定义在空间基本正交基上，即 E （单位矩阵））在基 A={α1,α2,...,αn} 下的向量，其坐标数值为其在基 E 下的坐标。
上面的语言可能不是很好理解。这里举一个二维空间中的例子，设点 x 在基 E 下的坐标为 x={1,2}T ；并对 x={1,2}T 执行运算 b=Ax ，其中 A=2√2(−11−1−1) ，可得运算结果如下图所示：

其中红色箭头为单位矩阵 E 对应的基，在该基下，向量 x 的坐标为 (1,2) ；现在，将基 E 转变为基 A （图中蓝色箭头代表基 A ），此时向量 x 在基 A 下的坐标仍为 (1,2) ，我们用符号 b 来表示这个向量，可以看到向量 b 由1个 2√2(−1,1) 和2个 2√2(−1,−1) 线性叠加而成。
不严谨地说，如果没有原始的基的参照，向量是无法“感觉”到基的变化的， x 在基 E 下的坐标为 (1,2) ，而 b 在基 A 下的坐标也为 (1,2) 。到现在为止我们还没有讨论运算 b=Ax 起到什么作用，这个矩阵乘法其实起到了一个“翻译”功能。正式的说，它将 b 的在基 A 下的坐标转化为基 E 的坐标。
打一个比喻：小蓝生活在基 A 下的世界，他看到的 x 坐标为 (1,2) ，并且他认为自己所处的基为 (1001) ；而小红生活在基 E 下的世界，并且她也认为自己所处的基为 \left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right) (1001) 。两个世界是相互隔离的。但某一天，某种神秘力量打开了一个虫洞，两个世界得以相互观察。此时小红发现小蓝所处的世界的基相对于自己世界的基而言为 \begin{equation}\boldsymbol A =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right)\end{equation} A=2√2(−11−1−1) ，而那个世界中的向量 \boldsymbol x x 相对于自己世界的基而言为： \begin{equation} \boldsymbol x' = \boldsymbol A \boldsymbol x=\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1\\2\end{array}\right) \end{equation} =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-3\\-1\end{array}\right)

x′=Ax=2√2(−11−1−1)(12)=2√2(−3−1)

此时小红认为，自己看到的向量是 b ，但其实 x 和 b 都是指同一个向量，只是从不同基的世界中看到的表现不一样而已。可以看出，矩阵乘法在这里起到了同一个向量基与基之间“翻译”的作用。
这里可以有一点造物主的感觉，毕竟我们可以知道小红和小蓝生活的世界的基的绝对坐标，但小红和小蓝都认为他们生活的世界的基为 (1001) （不知道笔者处的世界的基是什么样子，但起码笔者认为是 (1001) ）。他们对彼此世界的评判，都是基于自身所在世界的基。上面我们讨论了小红看小蓝世界的中向量 b 的坐标，但是如果是小蓝看小红的呢？

矩阵的逆的意义

小蓝看小红的世界，会发现小红世界的基，相对于自己的世界，其坐标为

A−1=[2√2(−11−1−1)]−1=2√2(−1−11−1)

假设小红的世界也有一个向量 y ，而小红认为该向量的坐标为 (−32√2,−2√2) 。此时小蓝会认为该向量的坐标为：

y′=A−1y=2√2(−1−11−1)⎛⎝⎜⎜⎜−32√2−2√2⎞⎠⎟⎟⎟=(12)

可以看出，矩阵及其逆为两个不同基的世界相互观察的结果。

感觉可以开一个矩阵运算说明的专题，有空整理一下吧