poj1091 跳蚤 解不定方程的应用

这题目真变态，真恶心，确实是跟解不定方程有关系，可是那根本就不是重点，还是看了别人的思路才知道要用到那么多知识点，真是个 变态的好题目，做一道题 要了解很多

1、最大公约数原理
设d = gcd(A1, A2, ..., An)，则必然可以找到或正或负的整数Xi, 使
A1X1 + A2X2 + ... + AnXn = d

.2、A1X1 + A2X2 + ... + AnXn = 1有解的充要条件是d = gcd(A1, A2, ..., An) = 1

还有人说了容斥定理，这个我不太懂 贴一下别人的分析 很好：http://blog.sina.com.cn/s/blog_67e046d10100reqb.html 

http://blog.csdn.net/bobten2008/article/details/4473864

3、容斥原理：设集合S中至少具有P1、P2、…、Pm中的一个性质的元素个数是
|S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sm| = ∑|Si| - ∑|Si ∩ Sj| + (-1)^(m+1) |S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ ... ∩ Sm|


4、容斥原理化简式：|S| - |S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sm| = |S| ∏ （1 - 1/|Si|)


解题思路：将M因式分解：M = P1^K1 * P2^K2 + ... + Pr^Kr
则区间[1, M]内的整数是Pi的倍数的有：Pi, 2Pi, 3Pi, ..., r1Pi （这里的r1 = M / Pi）
而同理，是Pi.Pk的倍数有：Pi.Pk, 2Pi.Pk, ..., rPi.Pk （这里的r = M / Pi.Pk)
当前n个数中都含有P1的因数的情况数有r1^n = (M / P1)^n种，含有P2的因数情况数有r2^n = (M / P2)^n种，……
而总可能数为M^n种，故结果res = M^n - [(M / P1)^n + (M / P2)^n + ... + (M / Pn)^n] + ... + (-1)^(n+1) * [M / (P1*P2*P3*...*Pk)]，由容斥原理化简式得到
res = M^n ∏ （1 - 1/Pi^n)

容斥定理推出来的易懂公式其实就是：  公因子不为1的个数 f = t(1) - t(2) + t(3) - ... + (-1) ^ (k - 1) t(k)

符合要求个数为 m ^ n - f

这是本题要用到的知识点，现在开始分析，假设卡片标号分别是a1,a2,a3...an,M跳蚤跳对应号的次数是 x1,x2......xn,xn+1，那么本题其实就是要满足一个 方程 a1*x1+a2*x2+....+an*xn+M*xn+1=1

然后对M进行分解，排除公因子不是1的情况

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