多重背包问题

情景预设：
多重背包是在i种物品取出若干种，每种物品各有c[i]件可以取，然后放在空间为j的背包里，第i件物品的重量为t[i]，与之相对应的价值为v[i]。
多重背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有c[i]个。
在多重背包问题中，因为每种物品有c[i]个，对于每个物品需要考虑选与不选，如果选的话要选几个的问题。

这个情境下的题目要求是：选取哪些物品并且对这些物品在可以选择的个数范围内选取适当个数满足不超过背包最大承载质量下获得最大的价值要求。

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完全背包问题告诉我们：顺序放入的满足条件是‘每种东西都有无限多个’。01背包问题告诉我们：逆序放入的满足条件是‘每种东西都有一个’。那这个多重背包的问题可以理解为，第i种东西都有c[i]个。拿来和01背包做一下对比，多重背包就相当于01背包中的一种东西和另外c[i]-1种东西是相同的，就是一种特殊的01背包了，只不过多添加了一个数组来保存第i种东西有多少个的问题。

既然第i种东西有c[i]个，这就是一个有限个数的问题，因此采用和01背包一样的逆序放入的办法，对每种东西执行多次放入即可，也就是加了一个for循环表示放入的个数。

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以下是例题：
SDNU-OJ-1520
http://www.acmicpc.sdnu.edu.cn/problem/show/1520

Description
SQK上山去采药。SQK有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。已知共有n(1<=n<=100 )种药材，每种药材都有自己的价值，并且知道每种药材的数量是有限的，如何选择，才能使得背包中药材价值最大？

Input
输入数据首先包含一个正整数C(1<=C<=10)，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数m和n(1<=m<=1000, 1<=n<=100)。
分别表背包的负重和药材的种类，然后是n行数据，每行包含3个数w，v和c(1<=w<=100,1<=v<=200,1<=c<=100)，分别表示每种药材的重量、每株的价值以及对应种类药材的株数。

Output
对于每组测试数据，请输出能够采集药材的最大价值，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
8 2
2 100 4
4 100 2

Sample Output
400

关键代码如下：

for(int i = 0; i < m; i++)
{
      for(int k = 0; k < c[i]; k++)   //i种东西放入c[i]次
      {
           for(int j = time; j >= t[i]; j--)
           {
               dp[j] = max(dp[j - t[i]] + v[i], dp[j]);
           }
      }
}

完整代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main()
{
    int time, m, qq;
    scanf("%d", &qq);
    for(int ii = 0; ii < qq; ii++)
    {
        scanf("%d %d", &time, &m);
        int t[1005], v[1005], c[1005];
        int dp[1005]={};
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d %d %d", &t[i], &v[i], &c[i]);
        }
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            for(int k = 0; k < c[i]; k++)
            {
                for(int j = time; j >= t[i]; j--)
                {
                    dp[j] = max(dp[j - t[i]] + v[i], dp[j]);
                }
            }
        }
        cout << dp[time] << endl;
    }
    return 0;
}