Wilson（威尔逊）定理

Wilson定理

首先，设p为素数，r₁,r₂…，r_p-1是模p的既约剩余系
故我们有$$\prod _{rmodp}{}^{\prime }r\equiv r_1\dots r_{p-1}\equiv -1(modp).$$
特别地，有$$(p-1)!\equiv -1(modp).$$
$$\begin{gathered} r_i{r}_j\equiv 1(modp). \\ 使r_i=r_j的充要条件是： \\ {r}_i^2\equiv 1(modp). \\ 即(r_i-1)(r_i+1)\equiv 0(modp). \end{gathered}$$
由于p是素数且p $\ge$ 3,所以上式成立当且仅当
$$r_i-1\equiv 0(modp)或r_i+1\equiv 0(modp).$$
由于素数p $\ge$ 3,所以，这两式不能同时成立。所以在这组模p的既约剩余系中，除了$$r_i\equiv 1,-1(modp)$$
故有$$r_2\dots r_p-2\equiv 1(modp).$$