Miller-Rabin素性测试算法

$Miller-rabin$算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法，它利用了费马小定理和二次探测：

• 费马小定理：如果$p$是质数且$a\perp p$互质，那么$a^{p-1}\equiv 1(modp)$恒等于$1$。

  也就是对于所有小于$p$的正整数$a$来说都应该符合$a^{p-1}(modp)$恒等于$1$。那么根据逆否命题，对于一个$p$，我们只要举出一个$a(a<p)$不符合这个恒等式，则可判定$p$不是素数。$Miller-rabin$算法就是多次用不同的$a$来尝试$p$是否为素数

• 二次探测定理：如果$p$是一个素数，那么对于正整数$x(x<p)$，若$x^2\equiv 1(modp)$ ，则$x=1orx=p-1$。逆否命题：如果对于正整数$x(x<p)$，若$x^2\equiv k(modp),k\ne 1$，则$p$不是素数（二次探测定理的正确性可以通过求解二次同余方程验证）

  根据这个定理，我们要计算$a^{p-1}modp$是否等于$1$时，可以这样计算，设$p-1=k\ast 2^t$，从$a^k$开始，不断将其平方直到得到$a^{p-1}$，一旦发现某次平方并对$p$取模后等于$1$，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查$x$是否等于$1$或$p-1$，如果都不是则可直接判定$p$为合数

inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
        //wa了尝试慢速乘或者改为__int128
    if (p <= 1000000000) return a * b % p;
    else if (p <= 1000000000000LL) return (((a * (b >> 20) % p) << 20) + (a * (b & ((1 << 20) - 1)))) % p;
    else {
     
        ll d = (ll) floor(a * (long double) b / p + 0.5);
        ll ret = (a * b - d * p) % p;
        if (ret < 0) ret += p;
        return ret;
    }
}

//inline ll mul(ll x, ll n, ll p) {
     
//    ll ans = 0;
//    x %= p;
//    while (n) {
     
//        if (n & 1) ans = (ans + x) % p;
//        x = (x + x) % p;
//        n >>= 1;
//    }
//    return ans;
//}

inline ll qkp(ll x, ll n, ll p) {
     
    ll ans = 1;
    x %= p;
    while (n) {
     
        if (n & 1) ans = mul(ans, x, p);
        x = mul(x, x, p);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

bool miller_rabin(ll n, int t = 20) {
     
    if (n == 2) return true;
    if (n < 2 || !(n & 1)) return false;
    ll m = n - 1;
    int k = 0;
    while ((m & 1) == 0) {
     
        m >>= 1;
        k++;
    }
    for (int i = 0; i < t; i++) {
     
        ll a = rand() % (n - 1) + 1;
        ll x = qkp(a, m, n), y = 0;
        for (int j = 0; j < k; j++) {
     
            y = mul(x, x, n);
            if (y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;
            x = y;
        }
        if (y != 1) return false;
    }
    return true;
}

Java大数判断素数

$Java$的$BigInteger$类封装了大数的米勒罗宾判素数的方法：

import java.math.BigInteger;
import java.util.*;

public class Main{
     
    public static void main(String[] args){
     
        BigInteger x;
        Scanner in = new Scanner(System.in);
		x = in.nextBigInteger();
		if(x.isProbablePrime(50))  	//相当于该数是素数的概率超过99%
			System.out.println("Yes");
		else
			System.out.println("No");
    }
}