数值优化（Numerical Optimization）学习系列-概述

开篇

1. 数值优化通过迭代的方式解决优化问题，是数学建模中关键的一环。
2. Modeling过程，需要确定优化目标、目标所依赖的变量以及变量之间的约束关系，最后通过优化算法解决问题。

基础

1. 对于一个优化问题，通常有一个优化目标函数 f(x) x为参数变量，c(x)为约束。
2. 最优化问题的标注形式为
   min f(x)x∈Rns.t. Ci(x)=0 i∈E      Ci(x)≥0 i∈I
3. 其中 E 表示等式集合， I 表示不等式集合
4. 其中满足约束的解称之为 可行解

问题分类

根据目标函数或者约束函数的不同，对于最优化问题可以分为：

• 连续/离散优化问题
• 约束/非约束优化问题
• 线性/非线性优化问题
• 全局/局部优化问题

• 随机/确定性优化问题

  了解分类规则后可以根据建模后的形式选择不同的算法。

凸优化

对于凸优化需要了解一下几个概念，详细可以参考Stephen Boyd的《凸优化》，里面对凸优化问题进行了详细的介绍。

1. 凸集：如果集合S为凸集，当且仅当 x∈S, y∈S 并且α(x)+(1−α)(y) inS;α∈[0,1]
2. 凸函数：如果函数f(x)为凸函数，当且仅当S为凸集， x∈S, y∈S; αf(x)+(1−α)f(y)≥f(αx+(1−α)y); α∈[0,1]
3. 严格凸函数，凸函数能够取到非等号，即 α∈(0,1)
4. 凸优化问题：对于标准形式目标函数为凸函数，等式约束为线性约束；不等式约束为凹函数。

无约束最优化问题

在机器学习中，有大量的问题可以归约为无约束最优化问题，例如线性回归、LR等。因此对于无约束问题的研究也很深入从简单的GD、SGD、TR到CG、Newton、(L-)BFGS等
1. 无约束最优化问题可以表示为 minf(x); x∈Rn
2. 全局最优解 VS 局部最优解
* 全局最优简单理解为在整个定义域内解最小
* 局部最优：在某个邻域内解最小
3. 对于凸优化问题，任何局部最优解都是全局最优解。

局部最优解几个定理

1. 泰勒展开公式，根据泰勒公式对于函数f(x)可以近似为
   一阶展开近似： f(x)≈f(x0)+∇f(x0)T(x−x0)
   二阶展开近似： f(x)≈f(x0)+∇f(x0)T(x−x0)+12(x−x0)T∇2f(x0)(x−x0)
2. 局部最小值的一阶必要条件，如果 x∗ 为局部最优解并且函数f一阶可导，则在 x∗ 的邻域内 ∇f(x∗)=0
3. 局部最优解的二阶必要条件，如果 x∗ 为局部最优解并且一阶和二阶可导，则 ∇f(x∗)=0 并且 ∇2f(x)正定
   证明：对于定理2，3的证明采用反证法。例如对于定理2. 假设 ∇f(x∗)≠0 ， 则根据泰勒一阶展开则可以找到 ∇f(x∗)T(x−x∗)≤0
4. 局部最优的二阶充分条件：如果函数f在 x∗ 处满足 ∇f(x∗)=0 并且 ∇2f(x)正定 ，则 x∗ 为局部最优解
5. 如果函数f为凸函数，则f的任何局部最优解都为全局最优解。

优化算法概述

在后面会介绍一系列解决该问题的算法，先介绍几个简单的概念。
1. 通过数值优化算法求解，一般会给定初始点 x0,找到一系列点x1,x2,x3 ... xn→x∗
2. 通常有两大类比较重要的策略 线搜索（Line Search）和信赖域（Trust Region）
3. Line Search策略：假设在某点 xk ，寻找方向 pk 和步长 α 使得 min f(xk+αpk) 最小，如果 pk 确定则只需要解决一维最优化问题就可以找到下一个搜索点，如何确定 pk 后面介绍几类策略，最简单的策略就是当前点的梯度。
4. Trust Region策略：在某店 xk 解决优化问题 min mk(xk+pk) ，其中 mk 为函数f在 xk 点的近似，同时为保证 mk 为一个较好的近似，即当 pk 远离 xk 时偏离太大，则需要保证 xk+pk 在一个可信赖的区域内；
5. 通常情况下信赖域选择为椭圆、球或者盒状区域，即一个凸集容易找到最优解。
6. 模型 mk 一般可以选择为函数f的泰勒二阶近似，即

m(xk+p)≈f(xk)+∇f(xk)Tp+12pT∇2Bkp

其中 Bk 为Hessian矩阵或者其近似
7. 以上两类策略的相同点是在某点 xk 通过解决一个优化问题找到下一个搜索点。LS首先选择方向 pk 通过解决一维最优化问题找到步长 α ；TR首先对步长进行约束，通过解决简单的优化问题寻找搜索方向。

线搜索中搜索方向选择

1. 最速下降方向，即搜索方向选择为,负梯度方向： pk=−∇fk 。由泰勒展开公式 f(xk+αpk)≈f(xk)+α∇f(xk)Tpk+12pTk∇2fkpk ， 由于 ∇2fk 满足正定，因此只需要 ∇f(xk)Tpk 最小。即 minf(xk)Tpk s.t||p||=1 ；可以推出 p=−∇fk/||∇fk|| 。主要问题对于复杂问题效率较慢
2. 通用搜索方向： 从泰勒展开公式上可以看到，只要满足 ∇fkpk≤0 都可以选择为搜索方向，问题是相比最速下降效率可能会较低。
3. 牛顿方向(Nowton direction, pNk )， pNk=−(∇2fk)−1∇fk ，解释如下
   泰勒公式:mk(p)=f(xk+p)≈f(xk)+∇f(xk)Tp+12pT∇2fkpmin mk(p)⇒∇mk(p)=0⇒∇fk+∇f2kp=0⇒pNk=−(∇2fk)−1∇fk
   关于 pNk 1) 当 ∇2fk 正定时满足 pT∇fk=−pT∇2fkp≤0 满足函数值下降，为有效搜索方向。2) 当 ∇2fk 非正定时， −(∇2fk)−1 不一定存在，即使存在也不一定满足下降条件。
4. 伪牛顿方向(Quasi-Newton 方向)， pk=−B−1k∇fk ，由于Hessian矩阵计算复杂度较高而且不一定能够满足正定，可进行近似。
   泰勒公式：∇f(xk+p)≈∇f(xk)+∇2f(xk)p由于xk+1=xk+p，令sk=xk+1−xkyk=∇fk+1−∇fk⇒yk=Bk+1sk(伪牛顿条件)
   另外一种理解方式
   将f(x)在点xk+1处进行泰勒展开f(x)≈f(xk+1)+∇f(xk+1)T(x−xk+1)+12(x−xk+1)T∇2fk+1(x−xk+1)在x=xk的梯度为∇fk≈∇fk+1+∇2fk+1(xk−xk+1)yk=Bk+1sk
   在实际使用中一般还对 Bk+1 添加一些附加条件，例如对称、正定以及低秩等，两个比较常用的近似算法为SR1 和BFGS
5. 非线性共轭梯度方向： pk=−∇fk+βkpk−1 ，后面会详细介绍该算法。

信赖域模型

1. 对于LS中的共轭方向外，其他方向的模型均可以引入到TR中
2. 例如，牛顿方向 mk(xk+p) 中将 Bk=0 对应于TR模型中
   minfk+∇Tkps.t||p||2≤Δk⇒pk=−Δk∇fk||∇fk||

SCALING 问题

1. 一个poor scaled 问题是指函数f(x)在某个方向上的变化比其他方向的变化，带来更大的函数值改动。即某个方向的微小改动带来巨大函数响应，例如 f(x)=109x21+x22 对x1方向的变化比较敏感。
2. 可以通过变量重定义的方式解决问题。
3. 线搜索问题中的最速下降法是poor scaled算法，Newton算法也会受到影响。最速下降法对于条件数比较大的问题会带来之字迭代，收敛速度大幅下降

总结

几个重要的知识点
1. 优化问题的标准形式（后续的学习中以此为准）
2. 凸优化问题：凸集、凸函数
3. 全局最优解 VS 局部最优解
4. 局部最优解的一阶、二阶必要条件，可证明
5. 线搜索常用搜索方向；信赖域常用模型
6. poor scaled问题