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问题

给定一个三角形网格，给出各个点的特征，这些特征需要

1. 体现各个点的几何属性
2. 对噪声尽量稳定

基本思路

方法来自于不同分辨率（Multi-resolution）的思想。想象在每个需求解特征的点上吹泡泡，泡泡的边缘和模型相交，形成不同的交线。通过对这些交线数量、长度、外角（体现区域的曲率）等，体现了该点上的特征。因此，接下来先介绍作者使用了哪些特征，再介绍实践中如何求取这些交线。

特征

数量

第一个特征是交线的数量。以Fig7为例，交线可以是一条、两条和多条，它们体现了交线形成的曲面（以下称为交面）的拓扑性质，我们分别进行讨论。

• 一条线：交面和平面同胚
• 两条线：交面和管道（tube, handle）同胚
• 多条线：交面处于多个管道相接（split）的位置

曲率

曲率仅对数量为1的点做计算，它的计算方式如下：

$$L_{\gamma (p,R_i)}=\mathrm{length}(\gamma (p,R_i))/R_i$$

其中，$\gamma (p,R_i)$是以$p$为中心，$R_i$为半径的球和模型的交线，所以$L_{\gamma (p,R_i)}$就是交线长度和半径之比。为什么它的几何意义是曲率呢？因为

$$K_G=\frac{2\pi -{\sum }_{i=1}^{\text{num. faces }}{\alpha }_i}{A}$$

其中$K_G$是高斯曲率，$A$是交面面积，${\alpha }_i$是各个面相对中心点的外角，如Fig2所示。

使用交线长度替代外角和是一种简单的近似。

按不同的阈值，我们可以将它分为尖型（Sharp）、平滑型（Rounded）和马鞍型（blend）。

• Sharp：想象$p$点处于一个圆锥的顶端，圆锥的顶角为$\alpha$，如果$\alpha$小于90度，则认为$p$点属于Sharp。考虑极限情况$\alpha =\frac{\pi }{2}$，如果此时圆锥的母线长$R$，则底部半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，底部周长为$\sqrt{2}\pi R$，所以$L_{\gamma (p,R_i)}=\sqrt{2}\pi$。因此，如果$L_{\gamma (p,R_i)}<\sqrt{2}\pi$，则属于Sharp。
• Rounded：想象圆锥不断变扁直至一个平面，则考虑平面这一极端情况，$L_{\gamma (p,R_i)}=2\pi$，所以如果$\sqrt{2}\pi <L_{\gamma (p,R_i)}<2\pi$，则属于Rounded。
• Blend：想象平面逐渐变成马鞍面，则交线长度继续加长，因此如果$L_{\gamma (p,R_i)}>2\pi$，则属于Blend。

Fig8给出了这三种情况的一些例子。

相对长度

相对长度仅对数量为2的点做计算，它表示较长的交线和较短的交线之比。如果两条交线长度相近，则这一局部类似于一个圆柱；如果两条交线明显一长一短，则这一局部类似于一个圆锥。这里作者给出的阈值是2，即如果较长边比较短边大于2，就近似于圆锥，否则就近似于圆柱。

Fig9给出了这两种情况的例子。

凹凸性

对于Sharp点，凹凸性可以区别尖刺和深坑；对于Rounded点，凹凸性可以区别隆起和下沉；对于Blend点，凹凸性意义不大；对于管状模型（两条交线或多条交线），凹凸性可以区别物体的内外。最后一句可参考Fig6，handle和donut都可看做是管道，只不过前者的管道在模型内部，而后者的管道在模型外部。凹凸性可以帮助区分这两者。

对于一条交线的情况，凹凸性的计算方式为：设交线的中心为$b$，交线各点的平均法向（向外）为$N$，则如果$N\bullet (b-p)>0$，则为凹；否则，为凸。Fig11可以从图像上来理解这一点。

对于两条交线或多条交线的情况，按文中的意思，如果管道在内部，则交线所在（最小二乘）平面的法向会指向$p$点。否则，就背离$p$点。法向的方向来自于交线方向的右手定则。参考Fig12。这里一个疑问是，交线的方向如何确定？

小结

总结上面的特征，得到如下的表格：

实践方法

选取半径的方法

• 用户指定半径
• 如果自动生成半径，则$R_{min}$设置为最短边长，$R_{max}$设置为整个模型包围盒对角线长度的一半。

数据结构

• V：Vertex位置坐标
  • 空间复杂度：$3n_V\times sizeof(float)$
• TV：Triangle-Vertex关系，即每个三角形面包含的点
  • 空间复杂度：$3n_T\times sizeof(int)$
• TT：Triangle-Triangle关系，即每个三角形（边）相邻的三角形
  • 空间复杂度：$3n_T\times sizeof(int)$
• VT*：Vertex-Triangle*关系，即一个点和任意一个相邻的三角形面
  • 空间复杂度：$n_V\times sizeof(int)$

由VT*可以得到VT（一个点和所有相邻三角形面的关系），即先找到任意的那个三角形面，然后通过TT寻找相邻三角形面，再通过TV判断这些面是否包含了这个点。

算法

给定一个点$v$和半径$R$，求交线$\gamma (v,R)$。

1. 将$v$的一个相邻三角形加入队列$Q$
2. 从$Q$中取出一个三角形$t$，重复执行以下步骤直至$Q$为空
3. 测试以$R$为半径的球是否和$t$相交：如果$t$的三个顶点中（不同于$v$），至少有两个点$p$和$q$满足，$\Vert p-v{\Vert }_2\le R,\Vert q-v{\Vert }_2\ge R$，则$t$和半径为$R$的球相交。
   4. 如果相交，则以$t$作为根三角形。首先取$t$中的一条边$[p,q]$，对这条边做参数化$u(s):=sp+(1-s)q$。按照$\Vert u(s)-v{\Vert }_2^2=R^2$，我们可以计算得到$s$的值，得到交点$a$。对于$t$中的另一条边，得到交点$b$，则在三角形$t$上的交线长度近似认为是$R\theta$，其中$\theta$为$ap$和$bp$形成的夹角。按照$a$点和$b$点相邻的三角形，我们继续这样的计算，直到计算出整个曲线$\gamma (v,R)$为止。
   5. 如果不相交，则将$t$的相邻三角形加入到$Q$中。

参考Fig14。

结果

对于带噪声的模型，可以调解其半径，得到较好的结果。如Fig19。

个人观点

• 采用了多分辨率的方法，一定程度上具有更高的鲁棒性。

• 半径的选取非常重要，对于最佳的半径可能需要手调。

• 交线真正被用到的信息只有数量、相对长度和平均法向，给定这些特征也是相对地经验化。

• 感觉只适合简单或细节不重要的模型。