应用数学课堂笔记（一）——欧拉方程

教材

《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君 高等教育出版社

有限维到无限维

向量中有有限个元素，它们可以进行加法、数乘、定义范数、定义内积、定义夹角。比如，对于向量$a$和$b$，其夹角余弦值为
$$cos<a,b>=\frac{(a,b)}{||a||\cdot ||b||}$$

那么，如果把一个向量中的元素数量扩展到无穷，向量就变成了函数，我们尝试仿照向量，对函数定义范数、内积、夹角。首先是内积，它变成了
$$(f,g)=\int f(x)g(x)dx$$

有了内积，很容易定义出范数。
$$||f||=\sqrt{(f,f)}=\sqrt{\int f^2(x)dx}$$

以及夹角。
$$cos<f,g>=\frac{(f,g)}{||f||\cdot ||g||}$$

有了夹角，我们就可以定义函数的正交，即如果$cos<f,g>=0$，则函数$f$与$g$正交。正交函数族的例子有三角函数（傅里叶分解的基函数），切比雪夫多项式等等。函数在一组两两正交函数${\varphi }_i(x)$上的投影，被称为广义傅里叶级数。即
$$f=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_i{\varphi }_i$$
其中，
$$c_i=(f_i,{\varphi }_i)$$

如果我们只取级数中的$N$项和$f_N$作为对$f$的逼近，那么就有误差
$$e=||f_N-f||$$
对于这$N$项的基函数，按$(f_i,{\varphi }_i)$选取$c_i$能让误差最小，因此$f_N$是一个最佳逼近。

线性泛函的例子

就像向量函数以向量为自变量，泛函以函数（无限维的向量）为自变量。其映射$J$为$函数空间\to R$。

最速降线

问题：从$(0,0)$到$(x_1,y_1)$构建一个光滑斜曲面，使得小球在重力中下降速度最快。

假设曲面的函数为$y=y(x)$，那么有两端的约束$y(0)=0,y(x_1)=y_1$；当小球下落到$(x,y)$时，按照能量守恒，它的速度为$v=\sqrt{2gy}$，取一个微元，斜面长度为$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$，因此通过这个微元的时间为
$$t=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}$$
因此通过整个斜面的总时间为
$$T={\int }_0^{x_1}tdx={\int }_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}dx$$

假设这个斜面是连续的，那么解一定存在于如下的函数空间（$C^1$表示一阶连续）：
$$A=\left\{y|\begin{array}{c}y(x)\in C^1(x,y)\\ y(0)=0,y(x_1)=y_1\end{array}\right\}$$

假设$y^{\ast }$是最后的解，那么我们要求的问题就变成了一个优化问题
$$y^{\ast }={\arg \min }_{y\in A}T$$

一会儿再考虑如何求解这个方程。

极小曲面问题

问题：求一段通过$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的曲线，绕着$x$轴旋转后侧面表面积最小。

首先写出面积公式。按$x$轴分成无数个微元，每个微元都是一个周长为$2\pi y$，高为$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$的长方形，因此总面积为
$$S={\int }_{x_1}^{x_2}2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

然后是解空间，假设曲线二阶连续，则有
$$A=\left\{y|\begin{array}{c}y(x)\in C^2(x,y)\\ y(x_1)=y_1,y(x_2)=y_2\end{array}\right\}$$

最后是求解的优化问题，令最优解为$y^{\ast }$，则
$$y^{\ast }={\arg \min }_{y\in A}S$$

测地线问题

问题：在一个曲面上，求解两点间在曲面上的最短距离。

假设曲面方程为$g(x,y,z)=0$，直线方程为
$$l=\{\begin{array}{c}y=y(x)\\ z=z(x)\end{array}$$

首先是距离公式。
$$S={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}dx$$

然后是解空间。
$$A=\left\{y|\begin{array}{c}g(x,y(x),z(x))=0,x\in (x_1,x_2)\\ g(x_1,y_1,z_1)=0,g(x_2,y_2,z_2)=0\end{array}\right\}$$

最后是优化问题。
$$y^{\ast }={\arg \min }_{y\in A}S$$

等周问题

一段长为$L$的线段，如何围成更大的面积。

这是作业，还没完成。

欧拉公式

欧拉公式帮助我们进行具体的求解。

一个引理

设$f(x)\in C[x_0,x_1],\eta (x)\in C_0^{\infty }[x_1,x_2]$，其中$C_0^{\infty }$表示在边界上导数为0，中间无限次可导。如果有
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\eta (x)dx=0,\forall \eta \in C_0^{\infty }[x_1,x_2]$$
则$f(x)=0$。

证明：反证法。假设$f(x_0)>0$，则有${\tilde{x}}_1<x_0<{\tilde{x}}_2$，在这个区间内，$f(x)>0$。构造
$$\eta (x)=\{\begin{array}{cc}K(x-{\tilde{x}}_1{)}^{2n}(x-{\tilde{x}}_2{)}^{2n},& x\in ({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2)\\ 0,& x\notin ({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2)\end{array}$$
其中$K>0$，$n$为正整数，则
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\eta (x)dx={\int }_{{\tilde{x}}_1}^{{\tilde{x}}_2}f(x)K(x-{\tilde{x}}_1{)}^{2n}(x-{\tilde{x}}_2{)}^{2n}dx>0$$

矛盾。因此引理成立。

基本定理

设泛函$J(y)={\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y,y^{\prime })dx$，$F$关于$x,y,y^{\prime }$连续，且有二阶连续偏导。假设解空间为
$$A=\left\{\begin{array}{c}y\in C^2(x_1,x_2),\\ y(x_1)=y_1,y(x_2)=y_2\end{array}\right\}$$
则$y^{\ast }$满足
$$F_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0$$
此为欧拉方程。

证明：$A$中任意一个$y$都可以写成$y^{\ast }+ϵ\eta$的形式，因此
$$J(y)={\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y,y^{\prime })dx={\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y^{\ast }+ϵ\eta ,{y^{\ast }}^{\prime }+ϵ{\eta }^{\prime })dx=\Phi (ϵ)$$

由于在$ϵ=0$时取到最值，因此我们对上式关于$ϵ$求导结果应为$0$，得到
$$\begin{array}{rl}{\Phi }^{\prime }(ϵ)& ={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{dϵ}dx={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{dx}\frac{dx}{dϵ}+\frac{dF}{dy}\frac{dy}{dϵ}+\frac{dF}{d{y}^{\prime }}\frac{d{y}^{\prime }}{dϵ}dx\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}0+\frac{dF}{dy}\eta +\frac{dF}{d{y}^{\prime }}{\eta }^{\prime }dx\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{dy}\eta dx+{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{d{y}^{\prime }}d\eta \\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{dy}\eta dx+\frac{dF}{d{y}^{\prime }}\eta {|}_{x_1}^{x_2}-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}dx\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{dF}{dy}\eta dx-{\int }_{x_1}^{x_2}\eta \frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}dx=0\\ & \to F_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0\end{array}$$
其中，第三行到第四行是分部积分，第四行到第五行是因为$\eta (x_1)=\eta (x_2)=0$，第五行到第六行是因为上述引理。

欧拉定理在最速降线的运用

最速下降问题的表达式。
$$T={\int }_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}dx=\frac{1}{\sqrt{2g}}{\int }_0^{x_1}F(x,y,y^{\prime })dx$$

求解$F_y$和$F_{y^{\prime }}$。
$$\begin{array}{rl}{F}_y& =-\frac{1}{2}{y}^{-\frac{3}{2}}\sqrt{1+y^{\prime 2}}\\ F_{y^{\prime }}& =y^{-\frac{1}{2}}{y}^{\prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$$

带入欧拉方程，得到
$$-\frac{1}{2}{y}^{-\frac{3}{2}}\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{d}{dx}{y}^{-\frac{1}{2}}{y}^{\prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}=0$$

化简（参考下一节的第一种退化情况），得到
$$1+y^{\prime 2}+2y{y}^{\prime \prime }=0$$

求解常微分方程，得到
$$\{\begin{array}{c}x=c(u-\sin u)\\ y=c(1-\cos u)\end{array}$$
其中，$c$由$(x_1,y_1)$确定。因此，最速降线为摆线。

（求解常微分方程，这里属于方程中只有$y$的情况，因此令$p=y^{\prime }$，改造方程为$1+p^2+2y{p}^{\prime }=0$，先求$p$，再求$x$）。

常见的欧拉方程的退化情况

第一种，$F(x,y,y^{\prime })=v(x,y)\sqrt{1+y^{\prime 2}}$。这种情况往往是由于需要乘上弦长$\sqrt{1+y^{\prime 2}}$而出现。

应用欧拉方程，得到
$$\begin{array}{rl}& v_y\sqrt{1+y^{\prime 2}}-\frac{d}{dx}v{y}^{\prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}=0\\ \to & v_y\sqrt{1+y^{\prime 2}}-v_x{y}^{\prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}-v_y{y}^{\prime 2}(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}-v{y}^{\prime \prime }(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{3}{2}}=0\\ \to & v_y-v_x{y}^{\prime }-v\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}=0\end{array}$$
其中，第一行到第二行中，第二项为全积分展开。

第二种，$F(x,y,y^{\prime })=F(x,y^{\prime })$。

应用欧拉方程，得到
$$\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0\to F_{y^{\prime }}=c$$

第三种，$F(x,y,y^{\prime })=F(y,y^{\prime })$。

应用欧拉方程，得到
$$\begin{array}{rl}{F}_y-\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0& \to y^{\prime }{F}_y-y^{\prime }\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}=0\\ & \to \frac{d}{dx}\left(F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}\right)=0\\ & \to F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=c\end{array}$$

第四种，$F(x,y,y^{\prime })=F(x,y)$。

应用欧拉方程，得到
$$F_y=0$$

第五种，$F(x,y,y^{\prime })=P(x,y)+Q(x,y)y^{\prime }$。

应用欧拉方程，得到
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial y}{y}^{\prime }-\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}{y}^{\prime }\right)=0\\ \to & \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=0\end{array}$$

参考文献

《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君 高等教育出版社