2020 Multi-University Training Contest 7
Animism
Bitwise Xor
Counting
Decision
Expectation
Flower
Game
官方题解
但是没看懂……
#include Heart
Increasing and Decreasing
#include Jogging
[markov系列1]从马尔可夫链看矩阵的乘法
[markov系列2]马尔可夫链中的期望问题
第3题的2/7的由来：
经发现能够到达的点只有3个：1号点（18,8）2号点（18,9） 3号点（18,10）
观察发现，虽然不停留在原地的概率为 z z + 1 \cfrac{z}{z+1} z+1z，但是从该点到达其他点的概率都是 1 z + 1 \cfrac{1}{z+1} z+11
然后可以由此画出马尔科夫链↓
设 v t i v^i_t vti 表示第 t t t 步到达 i i i 点的概率
设 x t x_t xt 为第 t t t 步到达各个点的概率向量矩阵，即
x t = [ v t 1 v t 2 v t 3 ] x_t=\begin{bmatrix} v^1_t & v^2_t &v^3_t \end{bmatrix} xt=[vt1vt2vt3]
则刚开始第0步时： x 0 = [ 1 0 0 ] x_0=\begin{bmatrix}1 & 0 &0\end{bmatrix} x0=[100]
因为每走一步都有
v t + 1 i = p i 1 × v t 1 + p i 2 × v t 2 + p i 3 × v t 3 v^i_{t+1}=p_{i1}\times v^1_{t}+p_{i2}\times v^2_{t}+p_{i3}\times v^3_{t} vt+1i=pi1×vt1+pi2×vt2+pi3×vt3
其中 p i j p_{ij} pij 表示 j j j 点到 i i i 点的概率
用矩阵乘法表示
v t + 1 i = [ p i 1 p i 2 p i 3 ] [ v t 1 v t 2 v t 3 ] v^i_{t+1}=\begin{bmatrix} p_{i1} & p_{i2} & p_{i3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v^1_t\\v^2_t\\v^3_t\end{bmatrix} vt+1i=[pi1pi2pi3]⎣⎡vt1vt2vt3⎦⎤
根据上图画出概率矩阵
P = [ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] P=\begin{bmatrix} p_{11} &p_{12} & p_{13} \\ p_{21} &p_{22} & p_{23} \\ p_{31} &p_{32} & p_{33} \end{bmatrix} P=⎣⎡p11p21p31p12p22p32p13p23p33⎦⎤
则 x t = P × x t − 1 x_t=P\times x_{t-1} xt=P×xt−1，即
[ v t 1 v t 2 v t 3 ] = [ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] × [ v t − 1 1 v t − 1 2 v t − 1 3 ] \begin{bmatrix} v^1_t\\v^2_t\\v^3_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_{11} &p_{12} & p_{13} \\ p_{21} &p_{22} & p_{23} \\ p_{31} &p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} v^1_{t-1} \\v^2_{t-1}\\v^3_{t-1}\end{bmatrix} ⎣⎡vt1vt2vt3⎦⎤=⎣⎡p11p21p31p12p22p32p13p23p33⎦⎤×⎣⎡vt−11vt−12vt−13⎦⎤
通过 x t = P t × x 0 x_t=P^t\times x_0 xt=Pt×x0，显然可以搞出
[ v t 1 v t 2 v t 3 ] = [ 1 2 1 3 0 1 2 1 3 1 2 0 1 3 1 2 ] t × [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix} v^1_t\\v^2_t\\v^3_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2}\\ 0 &\frac{1}{3} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^t\times \begin{bmatrix}1 \\ 0\\0\end{bmatrix} ⎣⎡vt1vt2vt3⎦⎤=⎣⎡2121031313102121⎦⎤t×⎣⎡100⎦⎤
python跑重复几次矩阵乘法就出来了…
#include Kcats