边覆盖集与边独立集（匹配）

1、覆盖与边覆盖集：设无向图为 G(V, E)，边的集合 E*⊆E，若对于∀v∈V，∃e∈E*，使得：v与 e 相关联，则称 e 覆盖 v，并称 E*为边覆盖集（edge covering set，或简称边覆盖）。

    通俗地讲，所谓边覆盖集 E*，就是 G 中所有的顶点都是 E*中某条边的邻接顶点（边覆盖顶点）。

2、极小边覆盖：若边覆盖 E*的任何真子集都不是边覆盖, 则称 E*是极小边覆盖。
3、最小边覆盖：边数最少的边覆盖集称为最小边覆盖。

4、边覆盖数（edge covering number）：最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数, 记作α1(G)，或简记为α1。

5、边独立集（匹配）：设无向图为 G(V, E)，边的集合 E*⊆E，若 E*中任何两条边均不相邻，则称 E*为 G 的边独立集（edge independent set），也称 E*为 G 的匹配（matching）。所谓任何两条边均不相邻，通俗地讲，就是任何两条边都没有公共顶点。

6、极大匹配：若在 E*中加入任意一条边所得到的集合都不是匹配，则称 E*为极大匹配。
7、最大匹配：边数最多的匹配称为最大匹配。

8、边独立数（edge independent number，也称匹配数）：最大匹配的边数称为边独立数或匹配数，记作β1(G)，简记为β1。

9、定理：设无向图 G 的顶点个数为 n，且 G 中无孤立点。

(1) 设 M 为 G 的一个最大匹配，对于 G 中 M 的每个未盖点 v，选取一条与 v 关联的边所组成的边的集合为 N，则 W = M∪N 为 G 中的最小边覆盖；

(2) 设 W1 为 G 的最小边覆盖，若 G 中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则 M1 = W1 - N1 为 G 中一个最大匹配；

(3) G 中边覆盖数α1与匹配数β1，满足：α1 +β1 ＝ n，即：边覆盖数 + 边独立数 = n。