边覆盖集与边独立集(匹配)

1、覆盖与边覆盖集:设无向图为 G(V, E),边的集合 E*⊆E,若对于∀v∈V,∃e∈E*,使得:v与 e 相关联,则称 e 覆盖 v,并称 E*为边覆盖集(edge covering set,或简称边覆盖)。

    通俗地讲,所谓边覆盖集 E*,就是 G 中所有的顶点都是 E*中某条边的邻接顶点(边覆盖顶点)。

2、极小边覆盖:若边覆盖 E*的任何真子集都不是边覆盖, 则称 E*是极小边覆盖
3、最小边覆盖:边数最少的边覆盖集称为最小边覆盖

4、边覆盖数(edge covering number):最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数, 记作α1(G),或简记为α1。

5、边独立集(匹配):设无向图为 G(V, E),边的集合 E*⊆E,若 E*中任何两条边均不相邻,则称 E*为 G 的边独立集(edge independent set),也称 E*为 G 的匹配(matching)。所谓任何两条边均不相邻,通俗地讲,就是任何两条边都没有公共顶点

6、极大匹配:若在 E*中加入任意一条边所得到的集合都不是匹配,则称 E*为极大匹配。
7、最大匹配:边数最多的匹配称为最大匹配。

8、边独立数(edge independent number,也称匹配数):最大匹配的边数称为边独立数或匹配数,记作β1(G),简记为β1。

9、定理:设无向图 G 的顶点个数为 n,且 G 中无孤立点。

(1) 设 M 为 G 的一个最大匹配,对于 G 中 M 的每个未盖点 v,选取一条与 v 关联的边所组成的边的集合为 N,则 W = M∪N 为 G 中的最小边覆盖;

(2) 设 W1 为 G 的最小边覆盖,若 G 中存在相邻的边就移去其中的一条,设移去的边集为N1,则 M1 = W1 - N1 为 G 中一个最大匹配;

(3) G 中边覆盖数α1与匹配数β1,满足:α1 +β1 = n,即:边覆盖数 + 边独立数 = n。

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