向量

概念

向量指具有大小和方向的量，一般记做： a ， ，，同时也可以用数对的形式表示，例如： ，

 

向量的矩阵表示：                          

 

向量的大小，也就是向量的长度（一般称作为 模），向量a的模记为： ，若  ，则 

单位向量：即模为1的向量

零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的

相反向量：长度相等方向相反的向量， 的相反向量为 -

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 

 

运算

设  ， 

 

加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，

 可以将其想象成一个长方形求对角线

因此

一些运算律：

若 ， 互为相反向量，即  = - ， = -， +  = 0

 

减法

，如图

一些运算律：

 + (-) =  - 

 

实数和向量的积

设有实数 ，和向量  的乘积还是一个向量，记做  ，且 ，如果  = 0，则  = 0或  = 0

其几何意义向量的有向线段的伸长或者压缩。

一些运算律：

 

向量的数量积（点积，内积）

两个向量的数量积（点积，内积）是一个数量，没有方向，记作 

代数定义：

几何定义：我们将  和  的夹角记作  ，且 

若  ， 不共线，则 

若  ， 共线，则  

一些运算律：

一些性质：

若两个向量互相垂直，则 

 

向量的向量积（叉积，外积）

两个向量的向量积（叉积，外积）是一个向量，记作  （或者 ）

我们将  和  的夹角记作  ，且 

模长： 

方向：与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则（右手四指从  转向  时，大拇指的方向即向量积的方向）

运算法则：运用三阶行列式

设 ，，为x，y，z轴的单位向量， ， 

则      

一些运算律：

一些性质：

若两个向量互相平行，则 

  的值是以  和  为边的平行四边形的面积