[BZOJ1008][HNOI2008]越狱(快速幂)

[BZOJ1008][HNOI2008]越狱

Description

　　监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

　　输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12
　　
Output

　　可能越狱的状态数，模100003取余
　　
Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

第一眼看到这题想到是dp的扣1 ！
第一眼看到这题想到的是dfs的扣2 ！
第一眼看不到快速幂的扣3 !

第一个犯人能信m种宗教

为了不与第一个犯人的宗教重复，第二个犯人只能信m-1种宗教

为了不与第二个犯人的宗教重复，但可以和第一个重复，第三个犯人也是信m-1种宗教

嗨呀，这样看好简单啊

我们先求出有多少合法的，用总的减去合法的，就是不合法的。就是答案。

all=m^n //n个犯人可以信m种宗教就是这样啦
tmp=m*(m-1)^(n-1) //合法的方案
ans=all-tmp

开开心心的打了，结果错了。 为啥？

1<=M<=10^8，1<=N<=10^12

所以这里需要快速幂

在求 a^n 前
我们可以先求出 a^(n/2)
然后 a^(n/2) * a^(n/2) = a^n
这样一直分割下去，我们能得到一个
O(log(n))的算法
这个算法就叫快速幂

那么奇数怎么办呢？
很简单 我们看2^31不就是2^30*2，这样又可以变成上面的了

所以代码就是这样：

long long ans=1,a=m,b=n;
while(b)
{
    if(b%2==1) ans=ans*a;
    a=a*a;
    b=b/2;  
}

但是还要mod（c就是mod啦）

long long ans=1%c;a=a%c;
while(b)
{
    if(b%2==1) ans=ans*a%c;
    a=a*a%c;
    b/=2;
}

恩，是不是好简单

C++code:

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL Q_mod(LL a,LL b,LL c)
{
    LL ans=1%c;a=a%c;
    while(b)
    {
        if(b%2==1) ans=ans*a%c;
        b/=2; a=a*a%c;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL m,n;
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    LL s;
    s=(Q_mod(m,n,LL(100003))-m*Q_mod(m-1,n-1,LL(100003))%LL(100003)+LL(100003))%(LL(100003));
    printf("%lld\n",s);
    return 0;
}