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数论基础

快速幂

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算法介绍

算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)2^n) a^(p(n-1)2^(n-1)) …* a^(p(1)2) a^p(0)

对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理

我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)

当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

核心代码

函数pow_m()用于计算a^n%MOD：

long long pow_m(long long a , long long n ,long long MOD)
{
    long long ret = 1 ;
    long long tmp = a % MOD ;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ret = (ret * tmp) % MOD ;
        tmp = tmp * tmp % MOD ;
        n >>= 1 ;
    }
    return ret ;
}