NOIP 模拟练习题 最小奖励

3.最小奖励（minaw.pas）

是一个狂热的旅游爱好者。这次他想去一个诡异的地方。这个地方有n个村庄，编号为1到n。此刻他在1号村庄，他想去n号村庄，这n个村庄之间有m条单向道路。通过某条道路时，可能会花费一些钱作为“买路钱”，可是通过一些道路时，不仅不需要交“买路钱”，而且会得到一些奖励（这就是诡异的地方？）。当然两个村庄之间可能有多条直接相连的道路。但是每一条路只能通过一次。这些村庄有这样的特性，从任何一个村庄出发，沿着任一条路径走都不会回到出发点。找到一条路径从1号村庄到n号村庄后，他需要计算一共得到多少奖励，一共交了多少“买路钱”。如果得到的总奖励钱数大于交的“买路钱”数，那么称走这一条路径可以得到奖励；相反，如果前者小于后者，那么称走这一条路径需要花费。如果两者相等，那么Jzabc不会选择这一条路（我也不知道他为什么不选这一条路径）。不会出现所有的路径两者都相等。他又需要你的帮助，让你找一条路径，使他得的奖励最小（为什么不是最大的奖励？），并输出最小奖励。如果找不到一条路径能使他得到奖励，那么就找一条路径使他得到的花费最大（为什么就不是最小花费？），并输出最大花费。

【输入】

第一行两个正整数n，m，中间用空格隔开。n是村庄的总数，m是道路总数。

以下m行，每行三个正整数x，y，w，描述一条道路的信息，中间用空格隔开。x是此条道路的起点，y是终点。若w为正，则是通过此条道路得到的奖励钱数；若w为负，则是通过此条道路交的“买路钱”数；w不为0，并且|w|≤10。

【输出】

一个整数。若有最小奖励，则输出。否则输出最大花费。

【样例输入1】

3 4

1 2 2

2 3 -1

2 3 3

1 3 -1

【样例输出1】

1

【样例输入2】

3 4

1 2 2

2 3 -3

2 3 -5

1 3 -2

【样例输出2】

3

【数据范围】

20%的数据，n≤20；m≤200；

50%的数据，n≤50；m≤2000；

100%的数据，n≤100；m≤20000

算法分析：本题需要求的实际上是最小奖励（优先）和最大花费（次先），根据题中的性质可以很轻易地知道这是一个有向无环图，因此很容易想到和拓扑排序有关的算法。

最小奖励：使用minaw[i]记录从起点到i点最小奖励（可以小于零及花费大于奖励）。又要保证尽量小又要大于零（不是常规的某个最大或最小），因此引入一个数组maxaw[i]表示从i到终点可以获得的最大奖励（此时就是一个裸的极值算法），对于与从 i 可以走到的点 j ，当minaw[i] + maxaw[j] + i->j 边的权值三者之和大于零时才更新minaw（因为如果到 j 点后走最大的奖励路径都是花费多的话便不满足条件）。利用拓扑排序中的入度进行更新，最后判断终点的minaw是否大于零（大于零则输出，否则进入最大花费）。

最大花费：这个算法就是裸的极值求法，先将maxco[ ]赋予极大值，然后走一遍拓扑排序来求最小值，输出终点maxco的绝对值即可。

题解转载自youzn99的博客

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
struct edge_
{
	int to,next,w;
}edge[20005];
int n,m,et,r[105];
int first[105],minaw[105],maxct[105];
int maxaw[105],lala[105];
int stack[105],x[105];
void add(int u,int v,int w)
{
	et++;
	edge[et].w=w;
	edge[et].to=v;
	edge[et].next=first[u];
	first[u]=et;
}
void tuopu()
{
	int top=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      if (r[i]==0) stack[++top]=i;
    int t=0;
    while (top>0)
    {
    	x[++t]=stack[top];
    	top--;
    	int b=first[x[t]];
    	while (b)
    	{
    		int v=edge[b].to;
    		r[v]--;
    		if (r[v]==0) stack[++top]=v;
    		b=edge[b].next;
    	}
    }
    /*for (int i=1;i<=t;i++)
      cout<>n>>m;
	int i,j,u,v,w;
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>u>>v>>w;
		add(u,v,w);
		r[v]++;
	}
	minaw[1]=maxct[1]=0;
	tuopu();
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		int b=first[x[i]],u=x[i];
		while (b)
		{
			int v=edge[b].to;
			maxaw[v]=max(maxaw[v],maxaw[u]+edge[b].w);
			b=edge[b].next;
		}
	}
	for (i=1;i<=n;i++)
	lala[i]=maxaw[n]-maxaw[i];//lala[i]表示从当前点到最后点能得到的最大奖励 
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		int b=first[x[i]],u=x[i];
		while (b)
		{
			int v=edge[b].to;
			if (minaw[u]+edge[b].w>0) minaw[v]=min(minaw[v],minaw[u]+edge[b].w);
			if (minaw[u]+edge[b].w+lala[v]>0)  minaw[v]=min(minaw[v],minaw[u]+edge[b].w);
			maxct[v]=min(maxct[v],maxct[u]+edge[b].w);
			b=edge[b].next;
		}
	}
	if (minaw[n]<2000000000) cout<