素数的判定

【概述】

素数，又称质数，是指一个大于 $1$ 的正整数，如果除了 $1$ 和它本身以外，没有其他的约数，例如 $2、3、5、73021377$ 等；反之就是合数。

$1$ 既不是素数也不是合数。

素数定理：$\pi (x)\sim \frac{x}{lnx}$，其中 $\pi (x)$ 表示不超过 $x$ 的素数的个数

质数分布密度定理：素数的分布越来越稀疏，当 1e18 内的任意两个素数的差不会很大（不会超过 300）

【试除法】

从素数的定义可知，只有 $2,3,\dots ,n-1$ 都不能整除 $n$，$n$ 才能判定为素数，而只要有一个能整除 $n$ ，$n$ 就可以判定为非素数。时间复杂度为 $O(n)$。

bool isPrime(int n)
{
	if(n < 2)	return false;
    for(int i = 2; i < n; i++)
		if(n % i == 0)
			return false;
    return true;
}

优化：注意到如果在 $2\sim n-1$ 中存在 $n$ 的约数，不妨设为$k$，即 $n\%k==0$，那么由 $k\ast (n/k)==n$ 可知，$n/k$ 也是 $n$ 的一个约数，且 $k$ 与 $n/k$ 一定满足其中一个小于 $sqrt(n)$、另一个大于 $sqrt(n)$。

这启发我们，只需要判定 $n$ 能否被 $2,3,\dots ,\lfloor sqrt(n)\rfloor$ 整除即可，该算法的复杂度为 $O(sqrt(n))$。（其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示对 $x$ 向下取整）

// 判断某个数是否是素数
int isPrime(int n)
{
	if(n < 2)	return 0;
	int sqr = (int)sqrt(1.0 * n);
	for(int i = 2; i <= sqr; i++)		// 遍历2~根号n
		if(n % i == 0)
			return 0;
	return 1;
}

如果 $n$ 没有接近 $int$ 型变量的范围上界，那么可以有更简单的写法，如下。

这样写会当 $n$ 接近 $int$ 型变量的范围上界时导致 $i\ast i$ 溢出 (当然 $n$ 在 $10^5$ 以内都会是安全的)，解决的办法是将 $i$ 定义为 long long 型，这样就不会溢出了。

bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2)	return false;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++)
        if(n % i == 0)
        	return false;
    return true;
}

综上，推荐写法：

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

【孪生素数法】

孪生素数：孪生素数指的是间隔为 $2$ 的相邻素数。

1、当 $n\ge 6$， $n-1$ 和 $n+1$ 为孪生素数，那么 $n$ 一定是 $6$ 的倍数。

推论：当 $x\ge 1$， $(6x-1)$ 或 $(6x+1)$ 不是素数时，它们的质因子不包括 $2$ 和 $3$ 的倍数。

2、素数分布规律：当 $n\ge 5$ 时，如果 $n$ 为素数，那么 $n\%6=1||n\%6=5$，即 $n$ 一定出现在 $6x(x\ge 1)$两侧。

总结：就是说大于等于5的素数一定是分布在6倍数的左右两侧，但在6倍数左右两侧的数不一定是素数

// 判断某个数是否是素数
int IsPrime(int n)
{
	if(n <= 1)	return 0;
	if(n == 2 || n == 3)	return 1;
	if(n % 6 != 1 && n % 6 != 5)	return 0;	// 不是6x两侧的数肯定不是素数
	
	for(int i = 5; i <= (int)sqrt(n); i += 6)	// 再对6x两侧的数进行判断
		if(n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)
			return 0;
	return 1;
}

【例题】

AcWing 866. 试除法判定质数（模板）

题目链接：点击这里

时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，AC：

#include
#include
#include

using namespace std;

bool isprime(int x)
{
    if(x < 2)   return false;
    for(int i = 2; i <= x /i; ++i)
        if(x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if(isprime(x))  puts("Yes");
        else    puts("No");
    }
    
    return 0;
}

HDU 2012 素数判定

题目链接：点击这里

AC代码：

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

bool judge(int x)
{
    if(x < 2)	return false;
    for(int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if(x % i == 0)
        	return false;
    return true;
}

int main()
{
	int x, y;
	while(~scanf("%d%d", &x, &y))
	{
		if(!x && !y)	break;
		
		bool flag = true;
		for(int i = x; i <= y; i++)
		{
			int t = i * i + i + 41;
			if(!judge(t))
			{
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if(flag)	puts("OK");
		else	puts("Sorry");
	}
	return 0;
}