【DP】序列 题解

【DP】序列 题解

序列

题目

一个长度为$k$的整数序列$b$ 1，$b$ 2，…，$bk$（1≤$b$ 1≤$b$ 2≤…≤$bk$≤$N$）称为“好序列”当且仅当后一个数是前一个数的倍数，即$bi$+1是$bi$的倍数对任意的i（1≤$i$≤$k$-1）成立。
给定$N$和$k$，请算出有多少个长度为4、$k$的“好序列”，答案对1000000007取模。

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输入

输入共1行，包含2个用空格隔开的整数$N$和$k$。

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输出

输出共1行，包含一个整数，表示长度为$k$的“好序列”的个数对1000000007取模后的结果。

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样例

input
3 2

output
5

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说明

【输入输出样例说明】
“好序列”为：[1,1]，[1,2]，[1,3]，[2,2]，[3,3]。

【数据说明】
对于40%的数据，1≤$N$≤30，1≤$k$≤10。
对于100%的数据，1≤$N$≤2000，1≤$k$≤2000。

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解题思路

f[i][j]表示长度为i，以j为最后一个数的“好序列”个数
动态转移方程：
枚举$i$，$j$，以及$j$的倍数$k$*$j$
$f[i+1][k\ast j]=(f[i+1][k\ast j]+f[i][j])$%1000000007;

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代码

#include
#include
using namespace std;
int n,m;
long long f[2100][2100],ans;
int main()
{
     
	scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        f[1][i]=1;  //赋初值
    for (int i=1;i<m;i++)  //枚举前一个状态的长度
    {
     
    	for (int j=n;j>0;j--)  //枚举前一个状态的最后一个数
    	    for (int k=1;k*j<=n;k++)  //枚举下一个状态最后一个数是前一个状态的几倍
    	        f[i+1][k*j]=(f[i+1][k*j]+f[i][j])%1000000007;  //转移
    	
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
    	ans=(ans+f[m][i])%1000000007;  //累加这个长度下，最后一个数小于等于n的个数
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}