算法竞赛中常见的博弈算法
本文的讲解是让你快速了解竞赛中几种常见的博弈以及处理方式，建议看完本文后再看文中的两篇参考博客。
想要真正较为全面的了解博弈论：请看书，看这里（历史及分类），或者看这里。或者移步网易公开课（以上内容都只能大概了解）
没兴趣具体了解，请看下面，（差不多足够应付竞赛中需要的相关知识了）
参考博客1（易懂）
参考博客2（比较全面的解释）
理解前提：
1.博弈论有一个默认的前提就是每个人做的都是对自己有利最佳策略。（能赢就不要输，不能赢也要给对方制造麻烦）
2.这里的模型都是取石子的模型。（竞赛中请注意抽象出模型）
3.先取石子的叫先手，后取的叫后手。（这种叫法好像在王者荣耀）
4.几种模型都采用了竞赛中常见的博弈，其他类型，例如（囚徒困境，海盗分金币）
这里假设几种模型都是两个人取石子（石子有若干堆）的情况，具体条件下面会说明
常见的四大模型：
1.巴什博奕：适用于只有一堆石子的情况。
有一堆 n 个石子，两个人轮流从这堆石子中取石子，规定每次至少取一个，最多取 m 个，最后取光者胜。
考虑哪些情况是必赢的局面：
1.如果n=m+1，先手取的数量在1到m之间，那么无论先手怎么取，后手必赢（因为博弈的前提是每个人都做最佳策略）
2.如果n=k*(m+1)+s，（k为正整数，s小于等于m）
则先手必胜策略为：先手先把s个零头拿了，然后看后手如何拿，先手再拿的数量,一定要与后手拿的数量加起来等于m+1，这样先手必胜。为什么呢，因为先手拿了s个后，剩下的石子数是m+1的k倍，不管后手怎么拿，只要先手保证把当前的m+1拿完就赢定了。
结论：n%(m+1)=0时，后手必赢，反之先手赢。
变式：最后取光者输，实际上可以转化成取一堆n-1个石子，最后取光者赢的问题（因为把取光n-1个后，还剩一个，对手必输，这样就转换成n-1个的模型，核心思想依旧是凑m+1）
2.斐波那契博弈：也是适用于一堆石子的情况。
一堆石子有 n 个，两人轮流取，先取者第一次可以取任意多个，但不能全部取完，以后每次取石子的数目不能超过上次取子数的 2 倍，先取完者胜
先上结论：当且仅当 n 不是 fibonacci 数列时，先手胜。
3.威左夫博弈：适用于两堆石子的情况。
有两堆若干个石子，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的石子，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者胜
4.尼姆博弈: 适用于n堆石子的情况
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的操作是 “选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人的时候所有石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此时没有任何合法的操作）
这游戏看上去有些复杂，我们先从简单情况开始研究，如果轮到你时，只剩下一堆石子，那么此时必胜策略肯定是把这堆石子全部拿完，然后对手没有石子拿就输了；如果剩下两堆不相等的石子，必胜策略是通过取多的一堆石子将两堆石子变得相等，之后对手如果在某一堆拿若干颗，你就在另一堆拿同样多的数量，直至胜利；但是如果还剩三堆，应该怎么分析呢？假设有三堆石子（a，b，c），我们前面说到，如果只有两堆石子，并且石子数量满足（n，n），谁先手谁就输。其实我们可以把三堆石子问题转换成两堆，只要满足状态（0，n，n）并且此时是对方先手，那我方按照两堆石子的取法，就能获胜。对于这种（0，n，n）的局势，我们称为奇异局势。对任何奇异局势（a，b，c）都有 a^b^c=0（^ 表示异或），如果我们面对非奇异局势，要如何变为奇异局势呢？假设 a 例（14，21，39），14^21=27，39-27=12，所以从 39 中拿走 12 个，即可变成奇异局势（14，21.27） 结论：想办法把局势变成奇异局势并且还要让对手面对奇异局势时是先手。 蓝桥杯高僧斗法 抄录自：https://www.wmathor.com/index.php/archives/766/