CART(Classification And Regression Tree)算法原理详解

1. Gini指数

CART决策树是用”吉尼指数”来选择属性划分。数据集D的纯度可用基尼值来度量：

Gini(D)=∑k=1n∑k′≠kpkpk′=1−∑k=1np2k

直观来说， Gini(D) 反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。因此 Gini(D) 越小，数据集D纯度越高。因此属性 α 的基尼指数定义为：

Gini(D,α)=∑v=1V|Dv||D|Gini(Dv)

假设数据集D在属性 α 上有 V 个不同的取值，则用属性 α 来划分时，一共有 v 个不同的分支。 Dv 指的是D中在 α 属性上取值为 αv 的所有样本集合。 Gini(Dv) 指的是前面划分的子样本集合 Dv 在标签 label 上的 Gini 不纯度。

因此我们要做的就是在属性集合 A={α1,α2...,αn} 中，我们需要找出使得 Gini(D,αi) 最小的 αi ，即：

α∗=argminα∈AGini(D,α)

下面以一个简单的例子来进行说明：

ID	有房	婚姻状况	年收入	label(是否拖欠贷款)
1	是	单身	125K	否
2	否	已婚	100K	否
3	否	单身	70K	否
4	是	已婚	120K	否
5	否	离异	95K	是
6	否	已婚	60K	否
7	是	离异	220K	否
8	否	单身	85K	是
9	否	已婚	75K	否
10	否	单身	90K	是

若采用是否有房作为分裂属性，则:

拖欠?	有房	无房
未拖欠	3	4
拖欠	0	3

则:

Gini有房=1−(33)2−(03)2=0

Gini无房=1−(47)2−(37)2=0.4849

故

Ginihouse=710×Gini无房=710×0.4849=0.343

对于婚姻状况，有3种情况:

• 是否离异

拖欠?	单身或已婚	离异
未拖欠	6	1
拖欠	2	1

此时

Ginit1=1−(68)2−(28)2=0.375

Ginit2=1−(12)2−(12)2=0.5

则

Gini1=0.8×0.375+0.2×0.5=0.4

• 是否已婚

拖欠?	单身或离异	已婚
未拖欠	3	4
拖欠	3	0

此时

Ginit1=1−(33)2−(33)2=0.5$，$Ginit2=1−(44)2=0

则

Gini2=0.6×0.5=0.3

• 是否单身

拖欠?	离异或已婚	单身
未拖欠	5	2
拖欠	1	2

此时

Ginit1=1−(56)2−(16)2=0.2778

Ginit2=1−(22)2−(22)2=0.5

则

Gini3=0.6×0.2778+0.4×0.5=0.3667

对于连续属性年收入，假设个样本的集合一个属性有个连续的值，那么则会有个分裂点，每个分裂点为相邻两个连续值的均值，每个属性的划分按照能减少的杂质的量来进行排序。采用如下方式来计算：

分局基尼系数最小的原则，可以选择年收入是否大于97K或者是否已婚来作为第一步的分裂条件。

2. 分裂的终止条件

• 节点达到完全纯度

• 树的深度达到用户要求的深度

• 节点中样本个数少于指定数目

• 分类条件和列别的相关程度很弱
  此时说明分裂条件和类别独立，即此时的分裂条件是没有道理的，节点应该停止分裂。这里的分裂条件是按照上面的 Gini Gini指数最小原则得到的分裂条件。独立性检验采用 χ2 检验法，例如下表：
  
  此时动物类别与是否为恒温相互独立，再继续分裂没有意义，因此停止分裂。

3. CART树的剪枝

CART采用复杂性剪枝法，即对于每一个非叶子节点计算它的表面误差率增益值 α ：

α=R(t)−R(Tt)|NTt|−1

其中 |NTt| 是子树中包含的叶子节点个数。 R(t) 是节点的误差代价。 R(t)=r(t)∗p(t) ， r(t) 是节点 t 的误差率， p(t) 是节点t上数据所占的比率。 R(Tt) 是子树的误差代价，如果该节点不被剪枝。它等于子树Tt上所有叶子节点的误差代价之和。例如：

则节点 t4 的误差代价为：

R(t)=r(t)∗p(t)=716∗1660=760

节点 t4 的子树的误差代价为：

R(Tt)=∑R(i)=260+360=560

节点 t4 的叶子节点共有3个，故：

α=R(t)−R(Tt)|NTt|−1=7/60−5/603−1=16

继续剪枝，并找出 α 最小的非叶子节点，令其左右子树均为 NULL 。当多个非叶子节点的 α 值同时达到最小时，取 |NTt| 最大的进行剪枝。

剪枝停止的条件

在CART树中，对所有的非叶子节点都要进行剪枝，直到剪枝为只有1个根节点为止。此时会得到一系列的决策树 {T0,T0,...,Tn} .然后采用交叉验证的方法，从 {T0,T0,...,Tn} 选出最优子树 Tα

参考文献：
1. 机器学习. 周志华
2. 统计学习方法. 李航