HDU4635Strongly connected(强连通+缩点)

Strongly connected

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Problem Description

Give a simple directed graph with N nodes and M edges. Please tell me the maximum number of the edges you can add that the graph is still a simple directed graph. Also, after you add these edges, this graph must NOT be strongly connected.
A simple directed graph is a directed graph having no multiple edges or graph loops.
A strongly connected digraph is a directed graph in which it is possible to reach any node starting from any other node by traversing edges in the direction(s) in which they point. 

 

Input

The first line of date is an integer T, which is the number of the text cases.
Then T cases follow, each case starts of two numbers N and M, 1<=N<=100000, 1<=M<=100000, representing the number of nodes and the number of edges, then M lines follow. Each line contains two integers x and y, means that there is a edge from x to y.

 

Output

For each case, you should output the maximum number of the edges you can add.
If the original graph is strongly connected, just output -1.

 

Sample Input

3 3 3 1 2 2 3 3 1 3 3 1 2 2 3 1 3 6 6 1 2 2 3 3 1 4 5 5 6 6 4

 

Sample Output

Case 1: -1 Case 2: 1 Case 3: 15

题目大意：  给你一个DAG图,问你最多能添加多少条边使得这个DAG图依然不是强联通的。

思路：

1、首先，对于一个简单图来说，如果其已经是一个强联通图了，那么就输出-1.

2、如果当前简单图不是强联通图，那么其要么存在强联通分量，要么不存在，如果不存在其就是一个DAG图，不需

要进行改变，如果存在强联通分量，那么对强联通分量进行染色，然后缩点，得到一个DAG图，所以以下对于问题的

讨论，也都是在一个DAG图的基础上来讨论的。

3、如果当前图已经是一个DAG图了，而且我们需要贪心的将边加入图中，其实我们枚举几组情况不难发现最终构成

的图无非两种情况：

其一：

其二：

贪心的方向就是这样的：找到一个出度为0，或者是入度为0的节点，然后让其他各个点都构成强联通分量，然后将这

个点和其他各个点连一条边。

那么将原来的强联通分量缩点染色之后贪心的方向就是这样的：找一个出度为0，或者是入度为0的节点，并且当前点

在原图中的点个数最少，然后将这个点和其他各个点连一条边。

4、然后考虑这样一个问题：将其他店构成强联通分量就能加最多的边吗？显然不是，让其形成一个完全子图才是最

贪心的方向。那么最终贪心思路就是这样的：

①找一个出度为0，或者是入度为0的节点，并且当前点在原图中的点个数最少。

②将其他各个点构成完全子图（一共需要边：n*n-1【这里n表示其他各点个数和】）

③将这个点内部也构成完全子图

③将这个点和其他各点相连

最终添加完边的图,肯定可以分成两个部X和Y,其中只有X到Y的边没有Y到X的边;

那么要使得边数尽可能的多,则X部肯定是一个完全图,Y部也是,同时X部中每个点到Y部的每个点都有一条边;

假设X部有x个点,Y部有y个点,则x+y=n;

同时边数F=x*y+x*(x-1)+y*(y-1),然后去掉已经有了的边m,则为答案;

当x+y为定值时,二者越接近,x*y越大，所以要使得边数最多,那么X部和Y部的点数的个数差距就要越大;

对于给定的有向图缩点,对于缩点后的每个点,如果它的出度或者入度为0,那么它才有可能成为X部或者Y部;

然后找出最大值即可;

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 200005;
const int INF = 0xffffffff;
typedef long long ll;
int n, m, cnt, head[N];
int dep, top, atype;
int dfn[N], low[N], Stack[N], belong[N], in[N], out[N], sum[N];
bool vis[N];
struct Edge
{
    int to, nxt;
}edge[M];
void addedge(int u, int v)
{
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt++;
}
void Tarjan(int u)
{
    dfn[u] = low[u] = ++dep;
    Stack[top++] = u;
    vis[u] = true;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].nxt)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }
        else if(vis[v])
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    int j;
    if(dfn[u] == low[u])
    {
        atype++;
        do
        {
            j = Stack[--top];
            belong[j] = atype;
            sum[atype]++;
            vis[j] = false;
        }
        while(u != j);
    }
}
void solve()
{
    if(n == 1)
    {
        puts("-1");
        return ;
    }
    cnt = dep = top = atype = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
    memset(low, 0, sizeof(low));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(belong, 0, sizeof(belong));
    memset(in, 0, sizeof(in));
    memset(out, 0, sizeof(out));
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    int u, v;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        addedge(u, v);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!dfn[i])
            Tarjan(i);
    if(atype == 1)
    {
        puts("-1");
        return ;
    }
    for(int u = 1; u <= n; u++)
        for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].nxt)
        {
            int v = edge[i].to;
            if(belong[u] != belong[v])
            {
                out[belong[u]]++;
                in[belong[v]]++;
            }
        }
    ll ans = 0, tmp;
    for(int i = 1; i <= atype; i++)
        if(in[i] == 0 || out[i] == 0)
        {
            tmp = sum[i];
            ans = max(ans, tmp*(tmp-1) + (n-tmp)*(n-tmp-1) + tmp*(n-tmp) - m);
        }
    printf("%I64d\n", ans);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("Case %d: ", kase);
        solve();
    }
    return 0;
}