线性筛——对i从1取到n gcd(i,n)求和

如果不会线性筛素数的话，建议先看这篇博客了解一下线性筛素数。

记$f(n)={\sum }_{i=1}^n\gcd (i,n)$

容易证明$f(n)$一定是积性函数

即$f(p_1^{t_1}{p}_2^{t_2}\cdots p_k^{t_k})=f(p_1^{t_1})f(p_2^{t_2})\cdots f(p_k^{t_k})$

又因为

$$\begin{array}{rl}f(n)& =\sum _{i=1}^n\gcd (i,n)\\ & =\sum _{d|n}d\ast \sum _i^n[\gcd (i,n)=d]\\ & =\sum _{d|n}d\ast \varphi (\frac{n}{d})\end{array}$$
于是
$$\begin{array}{rl}f(p^t)& =\sum _{i=1}^{p^t}\gcd (i,p^t)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{t-1}{p}^i\ast \varphi (p^{t-i})\right)+p^t\\ & =\left(\sum _{i=0}^{t-1}{p}^i\ast (p^{t-i-1})\ast (p-1)\right)+p^t\\ & =\left(\sum _{i=0}^{t-1}{p}^t-p^{t-1})\right)+p^t\\ & =(t+1)\ast p^t-t\ast p^{t-1}\end{array}$$

所以：
记$g(n)$为n的所有质因子中所有最小质因子的乘积
记$t(n)$为n的所有质因子中所有最小质因子的数目

1、当 $n$ 是质数时，$g(n)=n,f(n)=2\ast n-1,t(n)=1$
对于 2和3 设 $d=\frac{n}{p}$ 其中 $p$ 为 $n$ 的最小质因子
2、当 $p$ 是 $d$ 的某个质因子时， 则 $g(n)=g(d)\ast p,f(n)=\frac{f(d)\ast ((t(n)+1)\ast g(n)-(t(d)+1)\ast g(d))}{f(g(d))},t(n)=t(d)+1$
3、当 $p$ 与 $d$ 互质时，$g(n)=n,f(n)=f(d)\ast f(p),t(n)=1$

good luck and have fun!!!
附上代码：

int f[MAXN],prime[MAXN],d[MAXN],dd[MAXN];
\\dd表示g函数
\\d表示t函数
void get_it(int n)
{
     
	memset(prime,0,sizeof prime);
	f[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
     
		if(!prime[i]){
     
			prime[++prime[0]]=i;
			dd[i]=i;
			d[i]=1;
			f[i]=2*i-1;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=n/i;j++){
     
			prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
     
				d[i*prime[j]]=d[i]+1;
				dd[i*prime[j]]=dd[i]*prime[j];
				f[i*prime[j]]=f[i]/f[dd[i]]*(1ll*(d[i]+2)*dd[i*prime[j]]-1ll*d[i*prime[j]]*dd[i]);
				break;
			}
			d[i*prime[j]]=1;
			dd[i*prime[j]]=prime[j];
			f[i*prime[j]]=f[i]*(2*prime[j]-1);
		}
	}
}