Codeforces Round #257 (Div. 1)D. Jzzhu and Numbers || CounterCode 2015 Subset

D. Jzzhu and Numbers

题意：给你n(1<=n<=1e6)个数a1,a2,…an(0<=ai<=1e6)；问有多少种方案满足 $a_{i1}\&a_{i2}\&...\&a_{ik}=0(1\le k\le n)$

官方题解为：
定义 $F(x)为x\&a_i=x的数量$（很明显，相当于x的父亲的数量）
定义 $G(x)为x二进制下的1的数量$
则答案为： ${\sum }_{i=0}^{2^{20}}(-1{)}^{G(x)}\ast 2^{F(x)}$

然后没了，这让我等吃瓜群众就懵逼了。。。

学了Sosdp的话（没学先去学一手）很容易的计算出F(x)，并且明白他的状态的意义（x的父亲的数量），这里不加以阐述了。

我们要求$a_{i1}\&a_{i2}\&...\&a_{ik}=0(1\le k\le n)$，$2^{F(0)}$ 代表着所有ai选还是不选的方案，所以我们还需要减去不合理的方案，哪些是不合理的方案呢，很明显了，所有的F[x]单独都是不合理的，全都需要减去.（因为所有的状态都是0的father）
但是这里就有一个问题了，比如 11（二进制） 也是 01（二进制） 的父亲，则我F[1]也是包含F[3]的，并且10也是包含11的，所以呢，这不就是容斥吗。明白之后可以直接写了。

注：因为我感觉那个式子应该为 ${\sum }_{i=0}^{2^{20}}(-1{)}^{G(x)}\ast (2^{F(x)}-1)$, 然后也AC了，然后我来口胡一下，[0,1<

#include 
const int N=4e6+5;
const int M=21;
const int mod=1e9+7;
#define LL long long
using namespace std;
int n,F[N],a[N],p[N];
inline void add(int &x,int y){
     
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    if(x<0)x+=mod;
}
inline int count1(int x){
     
    int cnt=0;
    while(x){
     
        if(x&1)
            cnt++;
        x>>=1;
    }
    return cnt;
}
int main(){
     
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        scanf("%d",&a[i]);
        F[a[i]]++;
    }
    for(int i=0;i<M;i++)
        for(int j=0;j<(1<<M);j++)
            if(j&(1<<i))
                F[j^(1<<i)]+=F[j];
    p[0]=1;
    for(int i=0;i<(1<<M);i++)
        add(p[i],2*p[i-1]);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<M);i++){
     
        if(count1(i)&1)
            add(ans,-(p[F[i]]-1));
        else
            add(ans,p[F[i]]-1);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

另外一题同样有意思的题目：
CounterCode 2015 Subset

注：该题解借鉴于https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/100109753，我只用了自己的话加以描述。

给你N(n<=2e5)次操作，有以下三种操作。

• add s
• del s
• cnt s

保证 $s\in [0,2^{16}]$
add s 表示增加一个数 s，
del s 表示删除一个数 s，
cnt s 表示查找满足 a&s=a 的数量。（相当找有多少个儿子）

分析：很容易想到当次操作 $2^{16}$ 的做法，这是肯定不行的。
分析之后发现复杂度跟s的子集有关，相当于 s在二进制下1的数量有关，设cnt[s] 表示 s 在二进制下1的数量，当 cnt[s]<=8时，我们可以直接枚举子集，单次操作 $O(2^8)$，当 cnt[s]>8 呢？
很容易先想到对 s 取反，设ss为s取反后的数，以前是为了求 a&s=a 的数量 ，现在变为了求 a&ss=0的数量，由于 ss 的 cnt[ss]<=8 ，我们可以枚举子集，然后用容斥算出 cnt[i]<=8的方案数（下面会讲为什么是这样容斥），那 cnt[i]>8的=部分答案我们如何计算呢？因为 cnt[s]>8，a&s=a 等价于算s的儿子数量，我们可以用一个数组F来计算当 cnt[i]>8时，F[i]的儿子数量<==>每个s对齐父亲的贡献为1，可以枚举父亲来实现。

现在讲如何容斥（数学不好，总是在这部分要理解很久。）
前面已经讲了，现在变为了求 a&ss=0的数量，由于 ss 的 cnt[ss]<=8。我们可以用一个数组E来表示: E[i]代表 cnt[s]<=8 并且s为i的父亲的数量，则E[0]肯定是所有的cnt[s]<=8的数量和，我们要减去不合法的，等价于减去 ((i&ss)!=0) 的部分，这个 i 则一定是ss的儿子（或者叫子集），则一路算过去，相当于答案 = ${\sum }_{i=0}^{ss}(-1{)}^{cnt[i]}\ast E[i](前提是i是ss的儿子)$

总结一下:

• 当 cnt[s]<=8,直接计算答案，我们用个数组D[i]来判断 i 出现了多少次
• 当 cnt[s]> 8,设ss为s取反，然后容斥计算cnt<=8的的答案，对于cnt>8的答案直接加上F[s]就行。
• 总的时间复杂度 $O(n\ast 2^8)$，我看大佬们还要*个8，我不知道为什么，可以我哪里不会算

#include 
const int N=4e6+5;
const int M=16;
const int mod=1e9+7;
#define LL long long
using namespace std;
int n,F[N],E[N],D[N];
/**
cnt[s]:s在二进制下1的数量
E[i]:表示cnt[s]<=8的父亲数量，表示：i&s=i
D[i]:表示cnt[s]<=8时i的数量
F[i]:表示cnt[s]> 8时儿子数量，表示：i&s=s
举个例子：
下面的数都是二进制(不足16位前面补0)
E[01111111] 表示值为01111111和11111111的数量
D[01111111] 表示值为01111111的数量
F[1111111111]表示值为1111111111,0111111111,1011111111,...,1111111110的数量

*/
int cnt(int x){
     
    int ans=0;
    while(x){
     
        if(x&1)ans++;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}
void upd(int s,int val){
     
    int num=cnt(s);
    if(num<=8){
     
        D[s]+=val;
        for(int i=s;i;i=(i-1)&s)
            E[i]+=val;
        E[0]+=val; //因为枚举子集并不会算到0
    } else {
     
        for(int i=s;i<(1<<16);i=(i+1)|s)
            F[i]+=val;
    }
}
void query(int s){
     
    int num=cnt(s);
    int ans=0;
    if(num<=8){
     
        ans+=D[0];
        for(int i=s;i;i=(i-1)&s)
            ans+=D[i];
    } else {
     
        ans+=E[0]+F[s];
        int ss=((1<<16)-1)^s;
        for(int i=ss;i;i=(i-1)&ss)
            if(cnt(i)&1)
                ans-=E[i];
            else
                ans+=E[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
     
    cin>>n;
    while(n--){
     
        char s[10];
        int  id;
        scanf("%s%d",s,&id);
        if(s[0]=='a')
            upd(id,1);
        else if(s[0]=='d')
            upd(id,-1);
        else
            query(id);
    }
    return 0;
}