GCD最大公约数递归定理的证明

定理如下：

对任意非负整数a和任意正整数b, gcd(a,b） = gcd(b,a mod b)

首先证明 gcd(a,b) | gcd(b,a mod b)

设 gcd(a,b) = d

a mod b = a - b*k (k = a/b 向下取整的整数)

易得 d | a mod b 和 d | b 得出 d | gcd(b,a mod b) (d 为 最大公约数的一个因数)

接下来证明 gcd(b,a mod b) | gcd(a,b)

设 gcd(b,  a mod b) = d 得 d | b, d | a mod b

a mod b = a - b*k  得 d | a

得出 d | gcd(a,b)

得证