二值图像的距离变换研究
[研究内容]
二值图像距离变换
[正文]
二值图像距离变换的概念由Rosenfeld和Pfaltz于1966年在论文[1]中提出，目前广泛应用于计算机图形学，目标识别及GIS空间分析等领域，其主要思想是通过表识空间点(目标点与背景点)距离的过程，最终将二值图像转换为灰度图像。
距离变换按照距离的类型可以分为欧式距离变换(Eudlidean Distance Transfrom)和非欧式距离变换两种，其中，非欧式距离变换又包括棋盘距离变换(Chessboard Distance Transform)，城市街区距离变换(Cityblock Distance Transform)，倒角距离变换(Chamfer Distance Transform)等；
距离变换的主要过程：
假设一幅二值图像I，包含一个连通区域S，其中有目标集O和背景集B，距离图为D，则距离变换的定义如公式1-(1)：
1-(1)
具体步骤如下：
1，将图像中的目标像素点分类，分为内部点，外部点和孤立点。
以中心像素的四邻域为例，如果中心像素为目标像素(值为1)且四邻域都为目标像素(值为1)，则该点为内部点。如果该中心像素为目标像素，四邻域为背景像素(值为0)，则该中心点为孤立点，如下图Fig.1所示。除了内部点和孤立点之外的目标区域点为边界点。
2，计算图像中所有的内部点和非内部点，点集分别为S1，S2。
3，对于S1中的每一个内部点(x,y)，使用距离公式disf()计算骑在S2中的最小距离，这些最小距离构成集合S3。
4，计算S3中的最大最小值Max,Min。
5，对于每一个内部点，转换后的灰度值G计算如下公式1-(2)所示：
1-(2)
其中，S3(x,y)表示S1中的点(x,y)在S2中的最短距离
6，对于孤立点保持不变。
在以上距离变换的过程中，距离函数disf()的选取如果是欧式距离，则该距离变换称为欧式距离变换，依次类推。对于距离的求取，目前主要的距离公式如下：
欧式距离：
1-(3)
棋盘距离：
1-(4)
城市街区距离：
1-(5)
对于欧式距离变换，由于其结果准确，而计算相比非欧式距离变换较为复杂，因此，出现了较多的快速欧式距离变换算法，这里笔者介绍一种基于3*3模板的快速欧式距离变换算法(文献2)，具体过程如下：
1，按照从上到下，从左到右的顺序，使用模板如图Fig.2，依次循环遍历图像I，此过程称为前向循环。
对于p对应的像素(x,y)，我们计算五个距离：d0,d1,d2,d3,d4：
d0=p(x,y)
d1=p(x-1,y)+disf((x-1,y),(x,y))
d2=p(x-1,y-1)+disf((x-1,y-1),(x,y))
d3=p(x,y-1)+disf((x,y-1),(x,y))
d4=p(x+1,y-1)+disf((x-1,y-1),(x,y))
则p(x,y)变换后的像素值为：
p(x,y)=Min(d0,d1,d2,d3,d4);
使用上述算法得到图像I'。
2，按照从下到上，从右到左的顺序，使用Fig.2所示模板依次循环遍历图像I’，此过程称为后向循环。
对于p对应的像素(x,y)，我们计算五个距离：d0,d5,d6,d7,d8：
d0=p(x,y)
d5=p(x+1,y)+disf((x+1,y),(x,y))
d6=p(x+1,y+1)+disf((x+1,y+1),(x,y))
d7=p(x,y+1)+disf((x,y+1),(x,y))
d8=p(x-1,y+1)+disf((x-1,y+1),(x,y))
则p(x,y)后向变换后的像素值为：
p(x,y)=Min(d0,d5,d6,d7,d8);
使用上述算法得到的图像即为距离变换得到的灰度图像。
以上过程即文献2所示快速欧式距离变换算法。如果我们需要非欧氏距离变换的快速算法，只需要修改文献2算法中的欧式距离公式disf()为非欧式距离公式，如棋盘距离，城市街区距离等，过程依次类推。
对于欧式距离变换算法，相关学者研究了速度更快的倒角距离变换算法，来近似欧式距离变换的效果。具体过程如下：
1，使用前向模板如图Fig.3中左边3*3模板，对图像从上到下，从左到右进行扫描，模板中心0点对应的像素值如果为0则跳过，如果为1则计算模板中每个元素与其对应的像素值的和，分别为Sum1,Sum2,Sum3,Sum4，Sum5，而中心像素值为这五个和值中的最小值。
2，使用后向模板如图Fig.3中右边的3*3模板，对图像从下到上，从右到左进行扫描，方法同上。
3，一般我们使用的倒角距离变换模板为3*3和5*5，分别如下图所示：
[实验结果]
实验采用512*512大小的图像进行测试，测试PC为64位，Intel(R) Core(TM) i5-3230 CPU, 2.6GHz, 4G RAM，运行环境为VS2008，C#。
实验结果如下：
(a)原图
(b)Euclidean Distance Transfrom
(c) Cityblock Distance Transfrom
(d) Chessboard Distance Transform
(e) Chamfer Distance Transform
对于以上欧式距离变换与非欧式距离变换，我们做了时间分析，结果如下：
对于Table 1的数据，是通过计算50张512*512大小的图像得到的平均结果，代码未曾优化，距离变换结果均做了均衡化处理，对于不同配置，不同程序语言可能存在一定差异，总体而言，基于3*3模板的倒角距离变换速度最快，大概是欧氏距离快速算法的一半。
[参考文献]
[1] Rosenfeld A,PfaltzJ.L, Sequential operations in digital pic ture processing. Journal of ACM,1966, 13(4):471-494.
[2] Frank Y.Shih,Yi-Ta Wu, Fast Euclidean distance transformation in two scans using a 3*3 neighborhood. Journal of Computer Vision and Image Understanding 2004,195–205.
附录
本人使用C#编写的代码如下：
本人的完整demo，包含参考文献，测试图像，地址：http://download.csdn.net/detail/trent1985/6841125
///
/// Distance transform for binary image.
///
/// The source image.
/// One parameter to choose the mode of distance transform from 1 to 3, 1 means Euclidean Distance, 2 means CityBlock Distance, 3 means ChessBoard Distance.
/// The result image.
public Bitmap DistanceTransformer(Bitmap src, int distanceMode)
{
int w = src.Width;
int h = src.Height;
double p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 0, p4 = 0, p5 = 0, p6 = 0, p7 = 0, p8 = 0, min = 0;
int mMax = 0, mMin = 255;
System.Drawing.Imaging.BitmapData srcData = src.LockBits(new Rectangle(0, 0, w, h), System.Drawing.Imaging.ImageLockMode.ReadOnly, System.Drawing.Imaging.PixelFormat.Format24bppRgb);
unsafe
{
byte* p = (byte*)srcData.Scan0.ToPointer();
int stride = srcData.Stride;
byte* pTemp;
for (int y = 0; y < h; y++)
{
for (int x = 0; x < w; x++)
{
if (x > 0 && x < w - 1 && y > 0 && y < h - 1)
{
p0 = (p + x * 3 + y * stride)[0];
if (p0 != 0)
{
pTemp = p + (x - 1) * 3 + (y - 1) * stride;
p2 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x - 1, y - 1, distanceMode);
pTemp = p + x * 3 + (y - 1) * stride;
p3 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x, y - 1, distanceMode);
pTemp = p + (x + 1) * 3 + (y - 1) * stride;
p4 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x + 1, y - 1, distanceMode);
pTemp = p + (x - 1) * 3 + y * stride;
p1 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x - 1, y, distanceMode);
min = GetMin(p0, p1, p2, p3, p4);
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[1] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[2] = (byte)Math.Min(min, 255);
}
}
else
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = 0;
pTemp[1] = 0;
pTemp[2] = 0;
}
}
}
for (int y = h - 1; y > 0; y--)
{
for (int x = w - 1; x > 0; x--)
{
if (x > 0 && x < w - 1 && y > 0 && y < h - 1)
{
p0 = (p + x * 3 + y * stride)[0];
if (p0 != 0)
{
pTemp = p + (x + 1) * 3 + y * stride;
p5 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x + 1, y, distanceMode);
pTemp = p + (x + 1) * 3 + (y + 1) * stride;
p6 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x + 1, y + 1, distanceMode);
pTemp = p + x * 3 + (y + 1) * stride;
p7 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x, y + 1, distanceMode);
pTemp = p + (x - 1) * 3 + (y + 1) * stride;
p8 = pTemp[0] + GetDistance(x, y, x - 1, y + 1, distanceMode);
min = GetMin(p0, p5, p6, p7, p8);
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[1] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[2] = (byte)Math.Min(min, 255);
mMax = (int)Math.Max(min, mMax);
}
}
else
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = 0;
pTemp[1] = 0;
pTemp[2] = 0;
}
}
}
mMin = 0;
for (int y = 0; y < h; y++)
{
for (int x = 0; x < w; x++)
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
if (pTemp[0] != 0)
{
int temp = pTemp[0];
pTemp[0] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
pTemp[1] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
pTemp[2] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
}
}
}
src.UnlockBits(srcData);
return src;
}
}
///
/// Chamfer distance transform(using two 3*3 windows:forward window434 300 000;backward window 000 003 434).
///
/// The source image.
/// The result image.
public Bitmap ChamferDistancetransfrom(Bitmap src)
{
int w = src.Width;
int h = src.Height;
double p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 0, p4 = 0, p5 = 0, p6 = 0, p7 = 0, p8 = 0, min = 0;
int mMax = 0, mMin = 255;
System.Drawing.Imaging.BitmapData srcData = src.LockBits(new Rectangle(0, 0, w, h), System.Drawing.Imaging.ImageLockMode.ReadOnly, System.Drawing.Imaging.PixelFormat.Format24bppRgb);
unsafe
{
byte* p = (byte*)srcData.Scan0.ToPointer();
int stride = srcData.Stride;
byte* pTemp;
for (int y = 0; y < h; y++)
{
for (int x = 0; x < w; x++)
{
if (x > 0 && x < w - 1 && y > 0 && y < h - 1)
{
p0 = (p + x * 3 + y * stride)[0];
if (p0 != 0)
{
pTemp = p + (x - 1) * 3 + (y - 1) * stride;
p2 = pTemp[0] + 4;
pTemp = p + x * 3 + (y - 1) * stride;
p3 = pTemp[0] + 3;
pTemp = p + (x + 1) * 3 + (y - 1) * stride;
p4 = pTemp[0] + 4;
pTemp = p + (x - 1) * 3 + y * stride;
p1 = pTemp[0] + 3;
min = GetMin(p0, p1, p2, p3, p4);
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[1] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[2] = (byte)Math.Min(min, 255);
}
}
else
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = 0;
pTemp[1] = 0;
pTemp[2] = 0;
}
}
}
for (int y = h - 1; y > 0; y--)
{
for (int x = w - 1; x > 0; x--)
{
if (x > 0 && x < w - 1 && y > 0 && y < h - 1)
{
p0 = (p + x * 3 + y * stride)[0];
if (p0 != 0)
{
pTemp = p + (x + 1) * 3 + y * stride;
p5 = pTemp[0] + 3;
pTemp = p + (x + 1) * 3 + (y + 1) * stride;
p6 = pTemp[0] + 4;
pTemp = p + x * 3 + (y + 1) * stride;
p7 = pTemp[0] + 3;
pTemp = p + (x - 1) * 3 + (y + 1) * stride;
p8 = pTemp[0] + 4;
min = GetMin(p0, p5, p6, p7, p8);
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[1] = (byte)Math.Min(min, 255);
pTemp[2] = (byte)Math.Min(min, 255);
mMax = (int)Math.Max(min, mMax);
}
}
else
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
pTemp[0] = 0;
pTemp[1] = 0;
pTemp[2] = 0;
}
}
}
mMin = 0;
for (int y = 0; y < h; y++)
{
for (int x = 0; x < w; x++)
{
pTemp = p + x * 3 + y * stride;
if (pTemp[0] != 0)
{
int temp = pTemp[0];
pTemp[0] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
pTemp[1] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
pTemp[2] = (byte)((temp - mMin) * 255 / (mMax - mMin));
}
}
}
src.UnlockBits(srcData);
return src;
}
}
private double GetDistance(int x, int y, int dx, int dy, int mode)
{
double result = 0;
switch (mode)
{
case 1:
result = EuclideanDistance(x, y, dx, dy);
break;
case 2:
result = CityblockDistance(x, y, dx, dy);
break;
case 3:
result = ChessboardDistance(x, y, dx, dy);
break;
}
return result;
}
private double EuclideanDistance(int x, int y, int dx, int dy)
{
return Math.Sqrt((x - dx) * (x - dx) + (y - dy) * (y - dy));
}
private double CityblockDistance(int x, int y, int dx, int dy)
{
return Math.Abs(x - dx) + Math.Abs(y - dy);
}
private double ChessboardDistance(int x, int y, int dx, int dy)
{
return Math.Max(Math.Abs(x - dx), Math.Abs(y - dy));
}
private double GetMin(double a, double b, double c, double d, double e)
{
return Math.Min(Math.Min(Math.Min(a, b), Math.Min(c, d)), e);
}